Bài 6 : cho phương trình x² -(m +5) x + 2m + 6 = 0 với m là tham số  a) chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1² + x2²

Để chứng minh rằng phương trình x² - (m + 5)x + (2m + 6) = 0 luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m, ta sẽ xét đến điều kiện cần và đủ để phương trình bậc 2 có hai nghiệm.

Phương trình bậc 2 có dạng ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm thì điều kiện cần và đủ là discriminant (định thức Δ) phải lớn hơn 0. Định thức của phương trình này được tính bằng:

Δ = b² - 4ac

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:

a = 1, b = -(m + 5), c = (2m + 6)

Bây giờ, ta tính Δ:

Δ = [-(m + 5)]² - 4 × 1 × (2m + 6)
= (m + 5)² - 4(2m + 6)
= (m² + 10m + 25) - (8m + 24)
= m² + 10m + 25 - 8m - 24
= m² + 2m + 1
= (m + 1)²

Δ = (m + 1)²

Biểu thức (m + 1)² luôn không âm cho bất kỳ giá trị nào của m, và nó bằng 0 khi m = -1. Tuy nhiên, vì phương trình bậc 2 có thể có nghiệm trùng nhau nên đối với mọi giá trị khác của m, Δ thực sự lớn hơn 0. Điều này cho thấy rằng phương trình sẽ luôn có hai nghiệm (đúng khi m ≠ -1, và có nghiệm trùng khi m = -1).

Tiếp theo, chúng ta cần tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1² + x2² = 35.

Ta biết rằng theo công thức tính tổng và tích của nghiệm:

x1 + x2 = m + 5 (tổng của nghiệm)
x1 * x2 = 2m + 6 (tích của nghiệm)

Để tính x1² + x2², ta có công thức:

x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2 x1 x2
= (m + 5)² - 2(2m + 6)
= (m² + 10m + 25) - (4m + 12)
= m² + 10m + 25 - 4m - 12
= m² + 6m + 13

Chúng ta cần giải phương trình:

m² + 6m + 13 = 35
m² + 6m + 13 - 35 = 0
m² + 6m - 22 = 0

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

m = (-b ± √Δ) / 2a
với Δ = b² - 4ac = 6² - 4×1×(-22) = 36 + 88 = 124.

Vậy:

m = (-6 ± √124) / 2
= (-6 ± 2√31) / 2
= -3 ± √31.

Do đó, ta có hai giá trị của m thỏa mãn điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho x1² + x2² = 35 là:

m = -3 + √31 và m = -3 - √31.