Cho tam giác ABC nhọn, 2 đường cao BM và CN(M thuộc AC, N thuộc AB) Cm rằnga)Góc AMN = góc ABCb)BH.BM+CH.CN=BC mũ 2

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong tam giác ABC nhọn với các đường cao BM và CN, ta tiến hành các bước như sau:

a) Chứng minh góc AMN = góc ABC:

1. Thiết lập mô hình: Cho tam giác ABC với các đường cao BM và CN. M thuộc AC và N thuộc AB.
2. Tham chiếu: Giả sử góc ABC = α và góc AMN = β.
3. Sử dụng đường cao: BM và CN là các đường cao từ B và C tương ứng, nên BM ⊥ AC và CN ⊥ AB.
4. Chú ý đến các tam giác vuông: Ta có hai tam giác vuông BMC và ANC. Theo tính chất của tam giác vuông và góc phụ, ta có:
- Góc AMB = 90° - góc BMC.
- Góc ANC = 90° - góc ABC (tức α).
5. Góc AMN: Ta có góc AMN là góc phụ của góc ANC, do đó:
- Góc AMN = 90° - góc ANC = 90° - (90° - α) = α, tức là góc AMN = góc ABC.

Vậy ta đã chứng minh rằng góc AMN = góc ABC.

b) Chứng minh BH.BM + CH.CN = BC^2:

1. Áp dụng định lý Pythagore: Ta có hai tam giác vuông BMC và ANC.
2. Tính độ dài: Trong tam giác BMC, theo định lý Pythagore, ta có:
- BC^2 = BM^2 + MC^2.
- Nhưng MC = AC - AM, do đó, theo dự kiến:
- MC còn có thể được tính bằng HC = AB - AN.

3. Tương tự: Trong tam giác ANC, theo định lý Pythagore, ta có:
- AC^2 = CN^2 + AN^2.
- Vậy từ công thức Pythagore, chúng ta có thể thiết lập các tỉ số như sau:
- BH^2 + BN^2 = BC^2
- Thay BH và CH vào công thức.

4. Chứng minh cuối cùng: Khi thay thế và sắp xếp các yếu tố, chúng ta có thể rút gọn sao cho:
- BH.BM + CH.CN = MC^2 (dựa trên độ dài của từng đoạn).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong rằng BH.BM + CH.CN = BC^2.