Ai đó còn thức thì giúp voiii

Để giải bài toán này, ta có dãy số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{2016}$ thỏa mãn:

$$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots +\frac{1}{a_{2016}}=300$$

Mục tiêu là chứng minh rằng trong 2016 số nguyên dương này, có ít nhất hai số bằng nhau.

Bắt đầu với định nghĩa về tổng hợp của các số nguyên dương $a_i$:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$$(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_{2016}})(a_1+a_2+\dots +a_{2016})\ge (1+1+\dots +1{)}^2={2016}^2$$

Ta gọi:

$$S=a_1+a_2+\dots +a_{2016}$$

Vì vậy, từ bất đẳng thức trên, ta có:

$$300\cdot S\ge {2016}^2$$

Suy ra:

$$S\ge \frac{{2016}^2}{300}$$

Tính giá trị ${2016}^2=4064256$ và $4064256÷300=13474.2$. Do đó, ta có:

$$S\ge 13475$$

Giả sử tất cả các $a_i$ khác nhau và đều là số nguyên dương nhỏ nhất có thể. Khi đó, giá trị nhỏ nhất cho $a_1,a_2,\dots ,a_{2016}$ lần lượt là 1, 2, 3, ..., 2016. Tổng của chúng sẽ là:

$$1+2+3+\dots +2016=\frac{2016\times (2016+1)}{2}=\frac{2016\times 2017}{2}=2033136$$

Khi đó, ta tính tổng số hạng nghịch đảo:

$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{2016}$$

Số hạng này sẽ nhỏ hơn:

$$\frac{2016}{1}=2016$$

Và thấy rằng tổng nghịch đảo vẫn không thể đạt tới 300 nếu tất cả đều khác nhau.

Từ điều này, ta rút ra rằng, với số lượng 2016 số nguyên dương như trên, sẽ có ít nhất hai số phải bằng nhau để thoả mãn điều kiện tổng nghịch đảo 300.

Kết luận, điều đã được chứng minh là trong 2016 số nguyên dương trong bài toán có ít nhất hai số giống nhau.