Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: xy+x+y=3; yz+y+z= 8; zx+z+x=15. Tính giá trị của biểu thức: Q= x+y+z

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu từ ba phương trình đã cho:

1. xy + x + y = 3
2. yz + y + z = 8
3. zx + z + x = 15

Chúng ta có thể biến đổi các phương trình này một chút để tiện cho việc xử lý.

Bước 1: Chuyển đổi từng phương trình

- Từ phương trình 1:
xy + x + y = 3
=> xy + x + y - 3 = 0. (1)

- Từ phương trình 2:
yz + y + z = 8
=> yz + y + z - 8 = 0. (2)

- Từ phương trình 3:
zx + z + x = 15
=> zx + z + x - 15 = 0. (3)

Bước 2: Sử dụng hệ phương trình

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hay cộng đại số để giải hệ này. Dễ nhận thấy rằng ở mỗi phương trình đều có dạng tương tự.

Bước 3: Tính toán

Để tìm x, y, z, ta có thể bắt đầu từ phương trình đầu tiên và sử dụng các phương trình còn lại để biến đổi.

Từ phương trình (1):

xy + x + y = 3
=> (x + 1)(y + 1) = 4 (do cộng thêm 1 vào cả hai vế).

Từ đó, ta có:
x + 1 = a,
y + 1 = b
=> ab = 4.

Tương tự, ta làm với (2) và (3):

Từ (2):
yz + y + z = 8
=> (y + 1)(z + 1) = 9.

Từ đó, ta có:
y + 1 = b,
z + 1 = c
=> bc = 9.

Từ (3):
zx + z + x = 15
=> (z + 1)(x + 1) = 16.

Từ đó, ta có:
z + 1 = c,
x + 1 = a
=> ac = 16.

Giờ ta có ba phương trình:
1. ab = 4
2. bc = 9
3. ac = 16

Bước 4: Tìm x, y, z

Từ (1) và (2), ta có b = 4/a và thay vào (2):
(4/a)c = 9
=> c = (9a)/4.

Thay c vào (3):
a(9a/4) = 16
=> 9a^2 = 64
=> a^2 = 64/9
=> a = 8/3 (vì a dương).

Thay a vào b:
b = 4/(8/3) = 12/8 = 3/2.

Tiếp theo thay vào c:
c = (9*(8/3))/4 = 6.

Bây giờ trở về với x, y, z:
- x + 1 = a => x = 8/3 - 1 = 5/3.
- y + 1 = b => y = 3/2 - 1 = 1/2.
- z + 1 = c => z = 6 - 1 = 5.

Cuối cùng, chúng ta cần tính:
Q = x + y + z
=> Q = 5/3 + 1/2 + 5.

Đưa tất cả về cùng mẫu số 6:
Q = (10/6) + (3/6) + (30/6) = 43/6.

Vậy giá trị của biểu thức Q là 43/6.