Giúp câu này với anh em mai thi rồi

a) Để chứng minh rằng đa thức 3x² - 2x + 2 vô nghiệm, ta sử dụng định lý về bậc hai. Đa thức có dạng ax² + bx + c, với a = 3, b = -2, c = 2. Để kiểm tra xem đa thức này có nghiệm hay không, ta tính delta (Δ):

Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4 3 2
Δ = 4 - 24
Δ = -20

Vì Δ < 0, đa thức này không có nghiệm thực, tức là 3x² - 2x + 2 vô nghiệm.

b) Để chứng minh x² + 5y² - 4xy + 6y + 10 luôn dương với mọi giá trị của x, y, chúng ta tính đạo hàm riêng và phân tích.

Đầu tiên, ta xét: f(x, y) = x² + 5y² - 4xy + 6y + 10. Ta tính đạo hàm riêng theo x và y.

∂f/∂x = 2x - 4y
∂f/∂y = 10y - 4x + 6

Giải hệ phương trình ∂f/∂x = 0 và ∂f/∂y = 0 để tìm các điểm cực trị.

2x - 4y = 0 => x = 2y
10y - 4x + 6 = 0

Thay x = 2y vào phương trình thứ hai:
10y - 4(2y) + 6 = 0
10y - 8y + 6 = 0
2y + 6 = 0 => y = -3

Sau đó, thế y vào x = 2y:
x = 2(-3) = -6.

Ta tính giá trị của f tại điểm (-6, -3):
f(-6, -3) = (-6)² + 5(-3)² - 4(-6)(-3) + 6(-3) + 10
= 36 + 45 - 72 - 18 + 10
= 1

Vậy, tại điểm cực trị f(-6, -3) = 1, và f(x, y) luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng 1, nên biểu thức này luôn dương.

c) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2/(2x² + 4x + 9), ta nhận thấy mẫu thức (2x² + 4x + 9) luôn dương vì bậc hai với a > 0 và delta của nó là Δ = 4 - 4×2×9 < 0. Do đó, A sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mẫu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Tính giá trị nhỏ nhất của 2x² + 4x + 9 bằng cách hoàn thành bình phương:
2(x² + 2x) + 9 = 2((x + 1)² + 8) = 2((x + 1)²) + 16.

Khi (x + 1)² = 0, tức là x = -1, tại đây giá trị nhỏ nhất là 16. Thay vào biểu thức A:

A_max = 2/16 = 1/8.

d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x³ + y³ biết x + y = 2, ta sử dụng định lý bất đẳng thức.

Theo định lý về bất đẳng thức, ta có:

P = x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²).

Do x + y = 2, ta có x² - xy + y² = (x + y)² - 3xy = 4 - 3xy.

Từ đó, ta cần tối thiểu hóa P = 2(4 - 3xy) = 8 - 6xy. Để xy đạt giá trị lớn nhất, theo bất đẳng thức AM-GM:

(x + y)² ≥ 4xy => 4 ≥ 4xy => xy ≤ 1.

Khi xy = 1 và x + y = 2, thì x = y = 1. Thay vào P:

P_min = x³ + y³ = 1³ + 1³ = 1 + 1 = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2.