Giúp câu này với anh em mai thi rồi

a) Để tìm số nguyên x sao cho: 3x + 4 chia hết cho x - 3, ta có:

Điều kiện để 3x + 4 chia hết cho x - 3 là: 3x + 4 = k(x - 3) với k là một số nguyên.

Giải phương trình này:

3x + 4 = kx - 3k
=> 3x - kx = -3k - 4
=> x(3 - k) = -3k - 4

Từ đó, suy ra x = (-3k - 4) / (3 - k).

Để x là số nguyên, điều kiện cần là -3k - 4 phải chia hết cho 3 - k. Ta sẽ thử các giá trị k là các số nguyên và kiểm tra xem x có nguyên không.

b) Để tìm các cặp số nguyên x, y sao cho 2x + y - 2xy = 3, ta chuyển phương trình này thành dạng khác:

2x + y = 3 + 2xy.

Ta có thể biến đổi thành: y = (3 + 2xy - 2x).

Từ đây, ta có thể thử các giá trị của x là các số nguyên để tìm y.

c) Để chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 5^(n+2) + 3^(n+2) - 3^(n) - 5^(n) chia hết cho 24, ta có thể dùng phương pháp quy nạp:

- Bước cơ sở: Kiểm tra với n = 1.
- Bước quy nạp: Giả sử đúng với n = k, chứng minh với n = k + 1.

d) Chứng minh rằng n^3 - 7n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Ta phân tích n^3 - 7n:

n^3 - 7n = n(n^2 - 7).

Xét hai yếu tố:
1. n là số tự nhiên, nên n luôn có ít nhất một trong ba trường hợp: n chẵn hoặc n lẻ. Khi n chẵn, n(n^2 - 7) sẽ chia hết cho 2. Khi n lẻ, n^2 cũng sẽ lẻ, do đó n^2 - 7 sẽ là số chẵn.

2. Kiểm tra chia hết cho 3: Xét n modulo 3, ta có các dạng n = 0, 1, 2. Nếu n = 0 (mod 3), rõ ràng n^3 - 7n = 0 (mod 3); nếu n = 1, thì 1^3 - 7(1) = -6 (mod 3) cũng chia hết cho 3; nếu n = 2, thì 2^3 - 7(2) = -10 (mod 3) cũng chia hết cho 3.

Như vậy, n^3 - 7n luôn chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.