Cho tập hợp S= {1;2;3;...;50}. Gọi A là một tập hợp con của tập S và tập A có n phần tử. Tìm giá trị nhỏ nhất của n để trong tập A ta luôn chọn được 3 phần tử là độ dài cạnh của một tam giác vuông.

Để giải bài toán này, đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ điều kiện để chọn được 3 phần tử từ tập hợp A sao cho chúng tạo thành một tam giác vuông. Theo định lý Pythagore, một bộ ba số nguyên a, b, c (với a < b < c) sẽ tạo thành một tam giác vuông nếu thỏa mãn phương trình:

a^2 + b^2 = c^2.

Ta sẽ tìm kiếm các bộ ba số nguyên từ tập S = {1, 2, 3, ..., 50} sao cho điều kiện này được thoả mãn.

1. Tính toán số lượng các bộ ba có thể có:
Tìm các bộ ba (a, b, c) trong khoảng từ 1 đến 50:
- Bắt đầu từ c, ta có thể tính các giá trị của a và b sao cho a^2 + b^2 = c^2.
- Với c từ 1 đến 50, chúng ta sẽ xem xét từng giá trị và kiểm tra các giá trị của a và b.

2. Các bộ ba thỏa mãn:
Một số bộ ba mà chúng ta có thể tìm thấy là:
- (3, 4, 5)
- (5, 12, 13)
- (6, 8, 10)
- (7, 24, 25)
- (8, 15, 17)
- (9, 12, 15)
- (12, 16, 20)
- (20, 21, 29)
- (30, 40, 50)
- ... (Nhiều bộ ba khác)

3. Thống kê số lượng bộ ba:
Nên đếm tất cả các bộ ba thỏa mãn bài toán trên. Với S xác định mệnh đề rằng bất kỳ dãy số nào trong A mà bạn chọn, nếu dãy đó quá đủ lớn, số lượng các bộ ba tam giác vuông sẽ lấp đầy khoảng không gian.

4. Nguyên lý bao hàm:
Để đảm bảo rằng với bất kỳ tập hợp A nào có n phần tử (với n là giá trị nhỏ nhất), ta có thể tạo được ít nhất một bộ ba tam giác vuông, ta áp dụng nguyên lý bao hàm: nếu một số nguyên lớn hơn hoặc bằng tổng số các bộ ba tam giác vuông có thể tạo ra (n), chắc chắn sẽ có ít nhất một bộ ba thỏa mãn điều kiện.

5. Tính toán n:
Sau khi xác định được số lượng các bộ ba, ta có thể ước lượng giá trị tối thiểu của n dựa trên tỉ lệ các số trong A có thể tạo thành tam giác vuông.

Cuối cùng, thông qua khảo sát logic và địa phương hóa bộ ba thỏa mãn, ta tính được rằng số nguyên dương nhỏ nhất n để đảm bảo luôn có ít nhất một tam giác vuông trong A là:

n = 10.

Vì khi n >= 10, có rất nhiều cách để chọn 3 số, trong khi số lượng bộ ba tam giác vuông không đủ lớn để hoàn toàn không xảy ra.