tìm các số nguyên tố x,y thỏa mãn: x^2 - 2y^2 = 1

Để tìm các số nguyên tố x và y thỏa mãn phương trình x^2 - 2y^2 = 1, ta có thể phân tích như sau:

Phương trình x^2 - 2y^2 = 1 là một dạng của phương trình Pell. Phương trình này có dạng tổng quát là x^2 - Dy^2 = N, trong đó D là số nguyên dương không phải là một số chính phương, và N là một số nguyên. Trong trường hợp này, D = 2 và N = 1.

Phương trình Pell có các nghiệm (x, y) là các số nguyên. Để tìm các nghiệm, ta có thể sử dụng công thức tiếp theo dựa trên nghiệm cơ bản của phương trình Pell này. Nghiệm cơ bản của phương trình x^2 - 2y^2 = 1 là (x,y) = (3,2). Từ nghiệm này, chúng ta có thể sinh ra các nghiệm khác bằng cách sử dụng phương pháp tiếp diễn hoặc bằng cách sử dụng công thức sinh nghiệm của phương trình Pell.

Cụ thể hơn, từ nghiệm (3, 2), ta có thể tạo ra các nghiệm kế tiếp bằng cách:

(a_1, b_1) = (3, 2)
(a_{n+1}, b_{n+1}) = (3a_n + 4b_n, 2a_n + 3b_n)

Áp dụng công thức trên, ta có:

1. (a_2, b_2) = (33 + 42, 23 + 32) = (17, 12)
2. (a_3, b_3) = (317 + 412, 217 + 312) = (99, 70)

Lưu ý rằng x và y phải là các số nguyên tố.

- Nghiệm đầu tiên (3, 2) thì 3 là số nguyên tố, 2 cũng là số nguyên tố.
- Nghiệm thứ hai (17, 12) thì 17 là số nguyên tố nhưng 12 không phải là số nguyên tố.
- Nghiệm thứ ba (99,70) thì 99 và 70 đều không phải là số nguyên tố.

Ta chỉ tìm được nghiệm (3, 2) thỏa mãn yêu cầu x và y là số nguyên tố. Không có nghiệm nào khác mà x và y đều là số nguyên tố.

Do đó, nghiệm duy nhất cho phương trình x^2 - 2y^2 = 1 với x, y là số nguyên tố là (x, y) = (3, 2).