$x^{2}$ -x(y+5)=-4y-9

Để giải phương trình $x^{2} - x(y+5) = -4y - 9$, trước tiên ta sẽ sắp xếp lại phương trình này.

Bắt đầu với:
$$x^{2} - x(y + 5) + (4y + 9) = 0$$

Đây là một phương trình bậc hai theo biến $x$. Để dễ dàng nhận diện các hệ số, ta đặt phương trình vào dạng chuẩn của phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$:

- Hệ số $a = 1$ (hệ số của $x^{2}$)
- Hệ số $b = -(y + 5)$ (hệ số của $x$)
- Hệ số $c = 4y + 9$ (hằng số)

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

Thay các giá trị $a$, $b$ và $c$ vào công thức:

Tính $b^{2} - 4ac$:
- $b^{2} = (-(y + 5))^{2} = (y + 5)^{2}$
- $4ac = 4 \cdot 1 \cdot (4y + 9) = 16y + 36$

Vậy,
$$b^{2} - 4ac = (y + 5)^{2} - (16y + 36)$$

Bây giờ ta cần khai triển $(y + 5)^{2}$:
$$(y + 5)^{2} = y^{2} + 10y + 25$$

Thay vào công thức:
$$b^{2} - 4ac = y^{2} + 10y + 25 - 16y - 36 = y^{2} - 6y - 11$$

Vì vậy, ta có phương trình nghiệm của $x$ như sau:
$$x = \frac{y + 5 \pm \sqrt{y^{2} - 6y - 11}}{2}$$

Đây là hai nghiệm của phương trình ban đầu tùy thuộc vào giá trị của $y$.

Để chắc chắn rằng nghiệm tồn tại và là số thực, điều kiện cần thiết là biểu thức dưới căn phải không âm:
$$y^{2} - 6y - 11 \geq 0$$

Giải bất phương trình này, ta tìm nghiệm của phương trình:
$$y^{2} - 6y - 11 = 0$$

Sử dụng công thức nghiệm:
$$y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-11)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 44}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$$

Vậy nghiệm của bất phương trình $y^{2} - 6y - 11 \geq 0$ là:
$$ y \leq 3 - 2\sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad y \geq 3 + 2\sqrt{5} $$

Cuối cùng, nghiệm của phương trình $x^{2} - x(y+5) = -4y - 9$ xác định được phụ thuộc vào giá trị của $y$ và được tính như trên.