giải giúp mình vs ạ ! cảm ơn

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} + \frac{4}{a+b} \geq 2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)
\]

trong trường hợp \( a, b > 0 \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản, như bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân).

Bước 1: Xét phần bên trái của bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2}
\]

Theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b^2} \cdot \frac{b}{a^2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{ab}} = \frac{2}{\sqrt{ab}}
\]

Bước 2: Xét phần thứ hai của bất đẳng thức:

\[
\frac{4}{a+b}
\]

Chúng ta cũng cần xét phần bên phải của bất đẳng thức:

\[
2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 2 \cdot \frac{a+b}{ab}
\]

Bước 3: Kết hợp lại, ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{2}{\sqrt{ab}} + \frac{4}{a+b} \geq \frac{2(a+b)}{ab}
\]

Bước 4: Nhân cả hai bên với \( ab(a+b) \) để loại bỏ mẫu:

\[
2ab(a+b) + 4ab \geq 2(a+b)^2
\]

Bước 5: Để ý rằng:

\[
2ab(a+b) + 4ab = 2ab(a+b+2)
\]

và

\[
2(a+b)^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2)
\]

Bước 6: Ta có bất đẳng thức sau đây:

\[
ab(a+b+2) \geq (a+b)^2
\]

Từ đó, dễ dàng nhận thấy nó đúng với bất đẳng thức AM-GM.

Vậy, đã chứng minh xong bất đẳng thức cho mọi \( a, b > 0 \).

Do đó, ta có:

\[
\frac{a}{b^2} + \frac{b}{a^2} + \frac{4}{a+b} \geq 2\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)
\]