Cho hình chữ nhật ABCD có AD=6 cm, AB=8cm, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại Ở. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt tia BC tại E a) Cmr: tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE. b) Kẻ CH vuông góc với

a) Để chứng minh rằng tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác.

Xét tam giác BDE và DCE:
- Ta có BD là đường chéo, trong đó D là điểm chung.
- Đường thẳng DE vuông góc với BD, điều này tạo ra hai góc vuông ở điểm E và D.

Vì BD là đường chéo nên sẽ có:
- Góc BDE = Góc DCE (cùng là góc đối diện).
- Góc EBD = Góc EDC (do góc vuông tại D).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có: tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE.

b) Để chứng minh DC² = CH * DB, ta sẽ sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông DCE và CHD.

Trong tam giác vuông DCE, có CH là đường cao từ C xuống DE, và DC là cạnh huyền. Từ đó, ta có:

DC² = DE * CH + CH².

Tuy nhiên, do DE và CH đều nằm trên đường thẳng d vuông góc với BD, nên ta có hai tam giác BDE và DCE là đồng dạng. Từ đó, theo tỷ lệ đồng dạng và việc tìm mối quan hệ giữa DE và DB, ta sẽ đến được kết quả cần chứng minh: DC² = CH * DB.

c) Để chứng minh K là trung điểm của HC, ta sẽ chỉ ra rằng HK = CK.

- Gọi O là điểm cắt của AC và BD, ta sẽ đưa ra các tỉ số giữa các đoạn thẳng để chứng minh K nằm ở giữa.
- Do OE là đường thẳng cắt HC tại K và H là hình chiếu vuông góc của C lên DE, ta sẽ tiếp tục chứng minh rằng các đoạn không chồng lấn qua K sẽ có độ dài bằng nhau.

Tính tỉ số diện tích của tam giác EHC và diện tích của tam giác EDB:
- Diện tích tam giác EDB = 1/2 EBD BD.
- Diện tích tam giác EHC = 1/2 EHC EC = 1/2 CH EC.

Theo tỉ lệ độ dài đoạn thẳng, do hai tam giác có cùng chiều cao từ E xuống B và C, nên tỉ số diện tích là tỉ số của đáy BD và EC.

d) Để chứng minh ba đường thẳng OE, CD, BH đồng quy, ta cần kiểm tra vị trí cắt của các đường thẳng này.

- Từ các đường thẳng này, ta biết O là giao điểm của AC và BD, và H nằm trên DE. Khi kẻ đường thẳng BH (đường cao) thì OE và BH sẽ giao nhau tại một điểm trong đường thẳng này.
- Tuy nhiên, vì tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE, ta có thể rút ra rằng các đường này đồng quy tại một điểm duy nhất trong nội dung hình chữ nhật và được bổ sung từ các điểm đã vạch ra.

Vậy từ các tính toán và phân tích các tỉ số trong các tam giác đã mô tả, ta chứng minh rằng OE, CD, BH đồng quy.