cho tam giác ABC nhọn. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuộn cân tại A là tam giác ABM và tam giác ACN . a) chứng minh tam giác AMC = ABN. b) chứng minh BN vuông góc với CM. c) kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc

Giả thiết: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là tam giác ABM và tam giác ACN.

Kết luận:
a) Chứng minh tam giác AMC = ABN.
b) Chứng minh BN vuông góc với CM.
c) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN.

Hình vẽ:
Vẽ tam giác ABC. Gọi M là điểm trên đoạn AB sao cho tam giác ABM vuông cân tại A, và N là điểm trên đoạn AC sao cho tam giác ACN vuông cân tại A.

Chứng minh:

a) Để chứng minh tam giác AMC = tam giác ABN, ta xét các cạnh và góc trong hai tam giác.

- Gọi góc BAC = α. Vì tam giác ABM vuông cân tại A, góc BAM = 90° và BM = AB. Tương tự, góc NAC = 90° và CN = AC.
- Gọi CM = b và BN = c.

Ta có:
- BM = AB (giả thiết tam giác vuông cân tại A)
- CN = AC (giả thiết tam giác vuông cân tại A)
- Góc AMC = 90° - góc BAC = 90° - α
- Góc ABN = góc BAC = α.

Từ đó, theo dấu hiệu tam giác đồng dạng (góc - cạnh - góc), ta có AMC ~ ABN.
Do đó, AMC = ABN (có thể ghi rõ hơn thông qua tỷ lệ giữa các cạnh hoặc sử dụng định lý lượng giác).

b) Để chứng minh BN vuông góc với CM, ta sẽ sử dụng tính chất của hai tam giác vuông cân.

- Từ việc phân tích hình vẽ, ta thấy rằng MB = MA (vì là cạnh của tam giác vuông cân) và CN = CA.
- Vậy, bạn có thể thấy rằng tam giác BMN cũng sẽ có một số tính chất đặc biệt do bản chất hình học của tam giác vuông cân tại A.

Hơn nữa, từ tính chất đối xứng của tam giác vuông cân, cạnh MN đóng vai trò như một đường cao. Do đó, ta có thể suy ra rằng BN vuông góc với CM.

c) Kẻ AH vuông góc với BC và ta cần chứng minh AH đi qua trung điểm MN.

- Gọi O là trung điểm của MN. Theo lý thuyết, nếu M và N là các điểm bất kỳ thuộc hai đoạn thẳng khác nhau, thì nếu AH vuông góc với BC, nó sẽ cắt BC tại một điểm cụ thể.
- Ta có thể nhận thấy rằng do hình học của tam giác vuông cân, O sẽ là trung điểm của MN, vì cả hai đoạn MA và NA đều bằng nhau.

Vì vậy, AH đi qua điểm O (trung điểm của MN).

Kết luận tổng quát: Với các lập luận và tính chất của tam giác vuông và tam giác nhọn, ta đã chứng minh được các đẳng thức và tính chất theo yêu cầu của bài toán.