cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu cứu

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
P = \frac{x}{x + \sqrt{x + yz}} + \frac{y}{y + \sqrt{y + zx}} + \frac{z}{z + \sqrt{z + xy}}
\]

với điều kiện \( x, y, z \) là các số thực dương có tổng bằng 1, ta thực hiện các bước phân tích sau:

1. Đặt biến đổi và sử dụng bất đẳng thức: Ta đặt \( x + y + z = 1 \). Khi đó, \( 0 < x, y, z < 1 \). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x + y + z)((\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}) + (\frac{y}{y+\sqrt{y+zx}}) + (\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}})) \geq (1)^2
\]

Từ đó suy ra:

\[
P \leq \frac{1}{\sqrt{x+\sqrt{x+yz}}} + \frac{1}{\sqrt{y+\sqrt{y+zx}}} + \frac{1}{\sqrt{z+\sqrt{z+xy}}}
\]

2. Tối ưu hóa giá trị: Khi \( x = y = z = \frac{1}{3} \), ta có thể tính giá trị của \( P \):

- Tính từng phần tử trong \( P \):

\[
\sqrt{x + yz} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}
\]

- Thay vào công thức:

\[
P = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{1} = 1
\]

3. Kết luận: Biểu thức \( P \) đạt giá trị lớn nhất là \( 1 \) khi \( x = y = z = \frac{1}{3} \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là \( 1 \).