Cho hình chóp S.ABC. Gọi M,N lần lượt là 2 điểm trên 2 cạnh SA, SC sao cho MN không song song với AC. Gọi O là điểm nằm trong tam giác ABC. Tìm giao tuyến của : a) (SAB) và (ABC) b) (SAC) và (OMN) c) (OMN) và (ABC)

a) Để tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (ABC), trước tiên ta nhớ rằng mặt phẳng (SAB) chứa điểm S và hai điểm A và B. Mặt phẳng (ABC) chứa ba điểm A, B, và C. Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là một đường thẳng, và có thể được tìm bằng cách xét các điểm nằm trên cả hai mặt phẳng.

Cụ thể, ta có thể phát hiện rằng điểm A và B nằm trong cả hai mặt phẳng này, và do đó, đường thẳng AB sẽ nằm trên giao tuyến. Chúng ta lỗi quan sát rằng (SAB) nằm phía trên hình chóp, trong khi (ABC) nằm ở mặt đáy của hình chóp. Như vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ là đường thẳng AB.

b) Để tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và (OMN), trước tiên ta cần biết vị trí của điểm O nằm trong tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) chứa điểm S và hai điểm A, C. Mặt phẳng (OMN) nằm ở trong tam giác ABC, chứa điểm O và hai điểm M, N.

Giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ là một đường thẳng đi qua các điểm mà cả hai mặt phẳng cùng chứa. Ở đây, điều quan trọng là ta cần xác định liệu điểm O có nằm trên cạnh AC hay trên một bên nào đó của tam giác ABC hay không. Nếu O nằm trong tam giác ABC giữa hai cạnh AC và BC, thì giao tuyến sẽ không có do một mặt phẳng chỉ chạm vào một điểm là O và không tạo thành đường thẳng. Tuy nhiên, nếu M và N nằm ở những đường thẳng đi qua O và đồng thời không song song với AC, giao tuyến có thể tồn tại, cụ thể là ở một vị trí nào đó giữa các điểm M, N và cạnh AC.

c) Để tìm giao tuyến của (OMN) và (ABC), ta xét các điểm M, N nằm trên cạnh SA và SC. Tam giác ABC với điểm O là điểm nằm trong đó. Thực chất, mặt phẳng (OMN) chứa điểm O, và hai điểm M, N như đã nói trên. Mặt phẳng (ABC) thì chứa ba điểm A, B, và C.

Vì O nằm trong tam giác ABC, nên giao tuyến của (OMN) và (ABC) có thể được xác định dựa trên việc xét các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng. Nếu trung điểm MN không nằm cùng trên cạnh AC và cả hai điểm đều nằm bên ngoài hoặc bên trong ba điểm A, B, C thì hình thành giao tuyến sẽ là một đường thẳng tiếp xúc với các điểm đó. Vì vậy, giao tuyến của (OMN) và (ABC) sẽ là đường thẳng đi qua cả hai điểm O và giao điểm của các cạnh MN nếu những cạnh này không song song với bất kì cạnh BC nào.

Tóm lại, các giao tuyến này phụ thuộc vào sự định hướng các điểm và các cạnh của hình học không gian tạo ra.