giup minh cau nay voi mng oiw

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước một.

a) Chứng minh phương trình \( 2x^2 - x - 3 = 0 \) có 2 nghiệm. Để kiểm tra điều này, ta sẽ sử dụng định lý liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai:

Phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), trong trường hợp này \( a = 2, b = -1, c = -3 \).

Để xác định số nghiệm, ta cần tính giá trị của Delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
Thay vào giá trị của a, b, c:
\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25
\]

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình sẽ có 2 nghiệm phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \).

b) Để tính giá trị của biểu thức \( A = x_1^3 + x_2^2 - x_1^2 x_2 - 2024 \), trước tiên, ta cần tính các nghiệm của phương trình \( 2x^2 - x - 3 = 0 \).

Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\]
Thay vào giá trị b và \( \Delta \):
\[
x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\]
\[
x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1
\]

Giờ ta tính giá trị biểu thức \( A \):
\[
A = \left(\frac{3}{2}\right)^3 + (-1)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2(-1) - 2024
\]

Tính từng phần:
- \( \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} \)
- \( (-1)^2 = 1 \)
- \( \left(\frac{3}{2}\right)^2(-1) = -\frac{9}{4} \)

Kết hợp các thành phần lại:
\[
A = \frac{27}{8} + 1 + \frac{9}{4} - 2024
\]
Chuyển đổi \( 1 \) và \( \frac{9}{4} \) về mẫu số 8:
\[
1 = \frac{8}{8}
\]
\[
\frac{9}{4} = \frac{18}{8}
\]
Gộp tất cả các thành phần:
\[
A = \frac{27}{8} + \frac{8}{8} + \frac{18}{8} - 2024 = \frac{53}{8} - 2024
\]

Tính \( 2024 \) thành mẫu số 8:
\[
2024 = \frac{16192}{8}
\]

Cuối cùng tính \( A \):
\[
A = \frac{53 - 16192}{8} = \frac{-16139}{8}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
A = \frac{-16139}{8}
\]