Cho phương trình `x^2 - (m + 1)x + m = 0` . Gọi `x_1; x_2` là hai nghiệm của phương trình. Tìm `m` để biểu thức `A = x_1^2x_2 + x_1x_2^2 + x_1x_2 + 18` đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho biểu thức \( A = x_1^2x_2 + x_1x_2^2 + x_1x_2 + 18 \) đạt giá trị nhỏ nhất, trước tiên chúng ta cần biểu diễn \( A \) theo các nghiệm của phương trình bậc hai.

1. Tính toán các nghiệm:
Phương trình \( x^2 - (m + 1)x + m = 0 \) có hai nghiệm là \( x_1 \) và \( x_2 \) theo công thức nghiệm:

\[
x_1 + x_2 = m + 1
\]
\[
x_1 x_2 = m
\]

2. Biểu thức \( A \):
Xét biểu thức \( A \):

\[
A = x_1^2x_2 + x_1x_2^2 + x_1x_2 + 18
\]
Có thể viết lại \( x_1^2x_2 + x_1x_2^2 \) theo \( x_1 x_2 \):

\[
x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1 x_2 (x_1 + x_2)
\]

Thay giá trị của \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \):

\[
A = m(m + 1) + m + 18
\]

\[
A = m^2 + m + m + 18
\]

\[
A = m^2 + 2m + 18
\]

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \):
Biểu thức \( A = m^2 + 2m + 18 \) là một hàm bậc 2 và có dạng chuẩn \( A = a(m - h)^2 + k \) với \( a > 0 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta có thể tính tọa độ đỉnh.

Tọa độ đỉnh được tính bằng công thức:

\[
m = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]

Thay \( m = -1 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = (-1)^2 + 2(-1) + 18 = 1 - 2 + 18 = 17
\]

4. Kết quả:
Giá trị nhỏ nhất của \( A \) đạt được tại \( m = -1 \).

Do đó, giá trị của \( m \) sao cho biểu thức \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( m = -1 \).