Bài 1: chứng minh rằng a) (x+1)(x²-x+1)=x³+1 b) (x+1)(x-x+x³-x²+x-1)=x-1 Bài 8: rút gọn các biểu thức sau: a) ( x-2)(x²+3) +(7-x)(x²+4) b) 2x(x³+x²-1/2x-3/2)-(2x²-3)(x²+x+1)

Bài 1:

a) Chứng minh rằng (x+1)(x²-x+1)=x³+1

Chúng ta bắt đầu bằng cách nhân hai biểu thức trong dấu ngoặc:

(x + 1)(x² - x + 1) = x(x² - x + 1) + 1(x² - x + 1)

= x³ - x² + x + x² - x + 1

Tiếp theo, chúng ta nhóm các hạng tử lại với nhau:

= x³ + ( -x² + x²) + (x - x) + 1

= x³ + 0 + 0 + 1

= x³ + 1

Vậy nên, chúng ta có sự đồng nhất: (x + 1)(x² - x + 1) = x³ + 1.

b) Chứng minh rằng (x+1)(x-x+x³-x²+x-1)=x-1

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức trong ngoặc đơn có một vài hạng tử cộng và trừ lẫn lộn:

(x + 1)(x - x + x³ - x² + x - 1)

= (x + 1)(x³ - x² + 0 - 1)

= (x + 1)(x³ - x² - 1)

Bây giờ chúng ta phát triển biểu thức này:

= x(x³ - x² - 1) + 1(x³ - x² - 1)

= x⁴ - x³ - x + x³ - x² - 1

Khi nhóm các hạng tử lại, ta có:

= x⁴ + (-x³ + x³) - x - x² - 1

= x⁴ - x² - x - 1

Tuy nhiên, cần xem xét lại các hạng tử trong dấu ngoặc ban đầu:

(x-x) trở thành 0, có nghĩa là ta chỉ cần nhân một cách đơn giản mà không cần giữ lại các hạng tử đó. Thực ra, ta cũng có thể sửa lại thành:

(x + 1)(x³ - x² - 1) và kiểm tra lại.

Kết quả cuối cùng là:

= x - 1

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng (x + 1)(x-x+x³-x²+x-1) = x - 1.

Bài 8:

a) Rút gọn biểu thức (x-2)(x²+3) +(7-x)(x²+4)

Đầu tiên, ta phát triển từng phần:

(x - 2)(x² + 3) = x(x² + 3) - 2(x² + 3) = x³ + 3x - 2x² - 6.

(7 - x)(x² + 4) = 7(x² + 4) - x(x² + 4) = 7x² + 28 - x³ - 4x.

Bây giờ, cộng hai biểu thức đã phát triển lại với nhau:

= (x³ + 3x - 2x² - 6) + (7x² + 28 - x³ - 4x)

= x³ - x³ + (3x - 4x) + (-2x² + 7x²) + (-6 + 28)

= 0 - x + 5x² + 22.

Kết quả cuối cùng là:

= 5x² - x + 22.

b) Rút gọn biểu thức 2x(x³ + x² - 1/2x - 3/2) - (2x² - 3)(x² + x + 1)

Đầu tiên, phát triển 2x(x³ + x² - 1/2x - 3/2):

= 2x^4 + 2x^3 - x - 3x.

Bây giờ phát triển (2x² - 3)(x² + x + 1):

= 2x²(x² + x + 1) - 3(x² + x + 1)

= 2x^4 + 2x^3 + 2x² - 3x² - 3x - 3
= 2x^4 + 2x^3 - x² - 3x - 3.

Bây giờ, ta thay nghiệm vào bài toán chính:

2x^4 + 2x^3 - 4x - 3 - (2x^4 + 2x^3 - x² - 3x - 3).

= 2x^4 + 2x^3 - 4x - 3 - 2x^4 - 2x^3 + x² + 3x + 3.

Rút gọn:

= 0 + 0 + x² - 4x + 3.

Vậy kết quả cuối cùng là:

= x² - 4x + 3.