Giúp mik câu này vs mọi ngừi ưi

Để chứng minh rằng \(1 < S < 2\) với \(S = \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} + \frac{3}{14}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính giá trị của S:
Đầu tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của từng phần tử trong tổng \(S\):

\[
S = \frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} + \frac{3}{14}
\]

Ta có thể tính từng phân số như sau:

- \(\frac{3}{10} = 0.3\)
- \(\frac{3}{11} \approx 0.2727\)
- \(\frac{3}{12} = 0.25\)
- \(\frac{3}{13} \approx 0.2308\)
- \(\frac{3}{14} \approx 0.2143\)

Bây giờ cộng các giá trị này lại:

\[
S \approx 0.3 + 0.2727 + 0.25 + 0.2308 + 0.2143 \approx 1.2678
\]

2. Chứng minh \(S < 2\):

Tất cả các phân số \( \frac{3}{n} \) với \(n\) là 10, 11, 12, 13, 14 đều nhỏ hơn \(\frac{3}{10}\). Ta có thể tính tất cả các phân số này và nhận thấy rằng tổng của chúng vẫn sẽ không lớn hơn 2, vì:

\[
\frac{3}{n} < 0.3 \text{ khi } n \geq 10
\]

Do đó:

\[
S < 5 \times \frac{3}{10} = 1.5 < 2
\]

3. Chứng minh \(S > 1\):

Ta thấy rằng \(S\) là tổng của 5 số dương, vì vậy \(S > 0\).

Để chứng minh \(S > 1\), ta có thể so sánh với các giá trị biên:

- Bằng cách ước lượng, ta có thể cộng các giá trị gần đúng như sau:
\[
\frac{3}{10} + \frac{3}{11} + \frac{3}{12} + \frac{3}{13} + \frac{3}{14} > 5 \times \frac{3}{14}
\]

Tính giá trị:

\[
5 \times \frac{3}{14} = \frac{15}{14} \approx 1.0714 > 1
\]

Từ các bước trên, chúng ta có thể kết luận rằng:

\[
1 < S < 2
\]

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \(1 < S < 2\).