Cho (P) : y = x^2 và đường thẳng (d) : y = -4x + m^2 - 4 . Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt xó hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x2 = (x1)^3 + 4(x1)^2

Để tìm giá trị m mà đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 và x2 thỏa mãn x2 = (x1)^3 + 4(x1)^2, chúng ta tiến hành như sau:

1. Đặt Phương Trình Cắt Nhau:
Từ (P) và (d), ta có được hệ phương trình:
y = x^2 (1)
y = -4x + m^2 - 4 (2)

Để tìm giao điểm của hai đường này, ta thay y từ (1) vào (2):
x^2 = -4x + m^2 - 4

Sắp xếp lại phương trình:
x^2 + 4x + (4 - m^2) = 0

2. Điều Kiện Cắt Nhau Tại Hai Điểm Phân Biệt:
Để phương trình bậc hai này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần thiết là:
∆ > 0
với ∆ = b^2 - 4ac
Ở đây:
a = 1, b = 4, c = 4 - m^2
Tính ∆:
∆ = 4^2 - 41(4 - m^2) = 16 - 4*(4 - m^2) = 16 - 16 + 4m^2 = 4m^2

Để ∆ > 0:
4m^2 > 0
m^2 > 0
Do đó, m khác 0.

3. Nghiệm của Phương Trình:
Các nghiệm của phương trình sẽ là:
x1, x2 = (-b ± √∆) / 2a = (-4 ± 2|m|) / 2 = -2 ± |m|

Giả sử x1 là nghiệm nhỏ hơn và x2 là nghiệm lớn hơn, ta có:
x1 = -2 - |m| và x2 = -2 + |m|

4. Thỏa Mãn Điều Kiện x2 = x1^3 + 4x1^2:
Theo điều kiện đã cho, ta có:
-2 + |m| = (-2 - |m|)^3 + 4(-2 - |m|)^2

Đặt t = -2 - |m|, thì x1 = t và x2 = t + 2|m|. Thay vào phương trình:
t + 2|m| = t^3 + 4t^2

Chuyển vế:
2|m| = t^3 + 4t^2 - t

5. Tìm m:
Từ |m| = (t^3 + 4t^2 - t) / 2
Ta sẽ khảo sát giá trị của m qua giá trị của t. Cần tìm giá trị mà phương trình này thỏa mãn.

6. Kiểm Tra Các Giá Trị cụ thể:
Ta sẽ khảo sát một số giá trị cho |m|. Ví dụ với t = -4 (hoành độ sẽ là -2 + |m|):
|m| = (-4^3 + 4*-4^2 - (-4)) / 2
|m| = (-64 + 64 + 4) / 2
|m| = 4 / 2 = 2.
Vậy |m| = 2, có nghĩa m = 2 hoặc m = -2.

Cuối cùng, giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt là m khác 0 (m ≠ 0) và cụ thể hơn là m = 2 hoặc m = -2.