Câu 15. Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D. Trên  cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE. Chứng minh DABD = DAED Tia ED cắt tia AB tại F. Chứng minh DAFC cân Gọi M là trung điểm của

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. Chứng minh DABD = DAED:

Ta có tam giác ABC với AB < AC và tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại D. Theo định lý phân giác góc, ta có tỉ lệ:

AB / AC = BD / DC.

Xét hai tam giác ABD và AED. Chúng ta có:

- Đoạn AB = AE (theo giả thiết).
- Đoạn AD là chung.
- Góc BAD = góc EAD (vì tia AD là tia phân giác).

Do đó, theo tiêu chuẩn định nghĩa tam giác đồng dạng (HHS), ta có:

ΔABD ~ ΔAED.

Từ đó suy ra diện tích của hai tam giác:

S(ΔABD) = k * S(ΔAED), với k là hệ số tỉ lệ diện tích.

Áp dụng định lý về diện tích tam giác, ta thấy rằng:

S(ΔABD) = S(ΔAED) => DABD = DAED.

2. Chứng minh DAFC cân:

Tia ED cắt tia AB tại F. Ta cần chứng minh tam giác DAFC là cân.

Chúng ta biết rằng AB = AE, và do tam giác ABD = ΔAED, nên:

S(ΔABD) = S(ΔAED) => AB + AD + BD = AE + AD + ED.

Bây giờ, để chứng minh DAFC cân, ta hãy xem xét góc FAD. Ta sẽ chứng minh rằng DF = DA.

- Đoạn DF là đoạn cắt từ điểm D đến chân vuông góc với AB.
- Đoạn DA = DF (theo giả thiết ban đầu và định nghĩa về tam giác cân).

Vì vậy, ta có DA = DF, suy ra DAFC là tam giác cân.

3. Chứng minh 3 điểm A, D, M thẳng hàng:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng FC. Để chứng minh A, D, M thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất của tim trung điểm.

- Từ DAFC cân, ta có DF = DA và DF = CF (vì M là trung điểm của FC).
- Từ đó suy ra, đoạn AM và đoạn DM sẽ có tỉ lệ tương đương, dẫn đến điểm M sẽ nằm trên đoạn AD.

Giống như trên, kết quả là A, D, M nằm trên cùng một đường thẳng, tức là A, D, M thẳng hàng.

Vậy là ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.