cho đường tròn O đường kính AB vẽ dây CD vuông góc với AB.trên cung nhỏ BC lấy điểm M.vẽ tiếp tuyến tại M cắt CD tại E  a) chứng minh ABM=AME b) kẻ AM cắt CD tại N.chứng minh tam giác EMN là tam giác cân

a) Để chứng minh rằng góc ABM = góc AME, ta tiến hành như sau:

1. Xét hình tròn O với đường kính AB. Theo định lý, góc tạo bởi hai dây cung vuông góc với nhau tại đường kính luôn bằng 90 độ. Vì vậy, góc ACB = 90 độ.

2. Dây CD vuông góc với đường kính AB, tức là góc ACD = 90 độ và góc BCD = 90 độ.

3. Theo tính chất của góc giữa tiếp tuyến và dây cung, tiếp tuyến tại điểm M sẽ tạo ra với dây CD hai góc: góc AME và góc ABM.

4. Mặt khác, do dây CD là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M, nên góc AME cũng là góc giữa tiếp tuyến và dây cung. Vì vậy, ta có thể viết:

Góc ABM + góc AME = 90 độ (do góc ACB = 90 độ)

Từ đó, ta kết luận rằng ABM = AME vì cả hai đều bằng một góc và chung một điểm M.

b) Để chứng minh tam giác EMN là tam giác cân, ta tiến hành như sau:

1. Đầu tiên, N là giao điểm của AM và CD. Khi đó, vì CD vuông góc với AB, nên góc ACD = 90 độ.

2. Xét tam giác EMN. Chúng ta cần chứng minh EM = EN.

3. Từ điểm M trên cung BC, đoạn EM là tiếp tuyến tại M. Theo định lý tiếp tuyến trong hình tròn, ta có:

EM vuông góc với dây CD tại điểm M.

4. Tương tự, điểm N là giao điểm của AM (cũng là một dây cung dẫn đến điểm M) với CD. Do đó, AM cũng có tính chất tương tự so với CD.

5. Khi xem xét đến các điểm tương ứng và dựa vào tính đối xứng của hình tròn, ta nhận thấy rằng EM và EN sẽ có cùng độ dài do tính chất của tiếp tuyến và dây cung tại điểm M.

6. Do đó, ta có: EM = EN.

Như vậy, tam giác EMN là tam giác cân với EM = EN.