Với mọi số thực `x,y` thì `x^2 + y^2 >= a. xy` Giá trị của a là

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói rằng:

$$(x^2+y^2)(1^2+1^2)\ge (x+y{)}^2$$

Khi áp dụng bất đẳng thức này vào trường hợp của chúng ta, ta có thể viết lại như sau:

$$2(x^2+y^2)\ge (x+y{)}^2$$

Từ đó, ta có:

$$x^2+y^2\ge \frac{(x+y{)}^2}{2}$$

Giờ đây, để liên hệ với biểu thức $a.xy$, ta sẽ tìm giới hạn của $a$. Chúng ta có thể cho thông qua biến đổi:

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$$

Kết hợp các bất đẳng thức trên:

$$(x+y{)}^2\ge 2xy$$

Thay vào phương trình ban đầu, ta nhận thấy

$$x^2+y^2\ge 2xy-2xy=0$$

Chúng ta cần tìm $a$ sao cho $x^2+y^2\ge a.xy$. Để hoàn thành điều này, chúng ta có:

$$x^2+y^2\ge a\ast xy$$

Nếu đặt $x=y$, ta có:

$$2x^2\ge a\ast x^2$$

Chia cả hai bên cho $x^2$ (với điều kiện $x\ne 0$), chúng ta có:

$$2\ge a$$

Như vậy, giá trị lớn nhất mà $a$ có thể nhận được là 2.

Kết luận: Giá trị của $a$ là 2.