Giải phương trình với  `x,yinZZ` `(x^3-xy-1)(y^2-x-y)+(y^3-xy-1)(x^2-x-y)=0`

Để giải phương trình `(x^3 - xy - 1)(y^2 - x - y) + (y^3 - xy - 1)(x^2 - x - y) = 0` với `x, y` là số nguyên, ta bắt đầu bằng cách phân tích các thành phần trong phương trình này.

Đặt:

A = x^3 - xy - 1

B = y^2 - x - y

C = y^3 - xy - 1

D = x^2 - x - y

Ta có phương trình có dạng:

A B + C D = 0

Để phương trình này bằng 0, ta cần một trong hai tích AB hoặc CD phải bằng 0. Do đó, ta sẽ giải từng trường hợp.

Xét trường hợp 1: A = 0.

x^3 - xy - 1 = 0 → x^3 - xy = 1

Từ đây, ta có:

xy = x^3 - 1

Y = (x^3 - 1) / x (với x ≠ 0):

y = x^2 - 1

Ta có được y phụ thuộc vào x. Ta kiểm tra các giá trị nguyên cho x:

- Với x = 1: y = 1^2 - 1 = 0
- Với x = 2: y = 2^2 - 1 = 3
- Với x = 3: y = 3^2 - 1 = 8
- Với x = 0: y Không xác định (x=0 sẽ không phù hợp vì đã chia cho x).

Do đó, các nghiệm tìm được từ trường hợp này là (1, 0), (2, 3), (3, 8).

Xét trường hợp 2: C = 0.

y^3 - xy - 1 = 0 → y^3 - xy = 1

Tương tự như trên:

x = (y^3 - 1) / y (với y ≠ 0):

x = y^2 - 1

Ta lại kiểm tra từng giá trị nguyên của y:

- Với y = 1: x = 1^2 - 1 = 0
- Với y = 2: x = 2^2 - 1 = 3
- Với y = 3: x = 3^2 - 1 = 8

Kết quả nghiệm từ trường hợp này là (0, 1), (3, 2), (8, 3).

Kết hợp các nghiệm từ cả hai trường hợp, ta có các cặp nghiệm (x, y):

1. (1, 0)
2. (2, 3)
3. (3, 8)
4. (0, 1)
5. (3, 2)
6. (8, 3)

Cuối cùng, các nghiệm của phương trình đã cho là các cặp số nguyên (x, y).