Cho tam giác ABC cân tại A, H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Kẻ HD,HE vuông góc với AB,AC. Trên tia HD lấy M. Trên tia HE lấy N sao cho D là trung điểm HN. CMR: a, HB=HC và tam giác BHD= tam giác CHE b,

a. Để chứng minh HB = HC và tam giác BHD = tam giác CHE:

- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên góc ABD = góc ACD. H lại là chân đường vuông góc từ A xuống BC, cho nên AH vuông góc với BC.
- Kẻ HD và HE vuông góc với AB và AC, suy ra góc AHD = góc AHE = 90 độ.
- Do D là trung điểm của HN nên HD = DE, và từ đây ta thấy rằng tam giác BHD và tam giác CHE có hai góc bằng nhau (góc ABD = góc ACD và góc AHD = góc AHE) và cạnh HD = cạnh HE do D là trung điểm HN. Vì vậy, theo tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (góc-góc-cạnh), ta có tam giác BHD = tam giác CHE, suy ra HB = HC.

b. Để chứng minh tam giác ADE là tam giác cân tại A và DE // BC:

- Vì H là chân đường vuông góc từ A xuống BC, cho nên AH vuông góc với BC. Khi kẻ đường thẳng DE // BC, thì góc ADE = góc AHB và góc ABE = góc AEC.
- Từ A kẻ đường thẳng DE // BC, với D và E lần lượt trên AB và AC, nó tạo ra hai góc bằng nhau, tức là góc ADE = góc AEC = góc AHB.
- Vì vậy, tam giác ADE có hai góc bằng nhau, khẳng định rằng tam giác ADE là tam giác cân tại A.

c. Để chứng minh O nằm trên đường trung trực BC:

- Một điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng nếu nó cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Trong trường hợp này, O là giao điểm của MB và NC.
- M nằm trên tia HD, N nằm trên tia HE và do D là trung điểm HN, nên HD = HE. Do đó, O sẽ cách đều B và C.
- Khi đó, O sẽ là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn BC, vì O nằm trên MB và NC sao cho MB = NC, tức là khoảng cách từ O đến B bằng khoảng cách từ O đến C.

Như vậy, O nằm trên đường trung trực của BC theo định nghĩa.