Cho các số thực không âm `a,b`. Tìm Min : `P = [(a^2+2b+3)(b^2 + 3a+3)]/[(2a+1)(2b+1)]`

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = [(a^2 + 2b + 3)(b^2 + 3a + 3)] / [(2a + 1)(2b + 1)],

đầu tiên chúng ta sẽ phân tích và tìm hiểu các thành phần trong biểu thức.

1. Phân tích biểu thức:
- Các số thực không âm a và b ≥ 0, vì vậy các thành phần trong biểu thức của P đều dương (vì các bình phương và các hằng số dương).
- Chúng ta sẽ tìm các giá trị của a và b sao cho cả tử số và mẫu số đều đạt giá trị tối ưu.

2. Xem xét các trường hợp cụ thể:
- Xét trường hợp a = 0, b = 0:
P = [(0^2 + 20 + 3)(0^2 + 30 + 3)] / [(20 + 1)(20 + 1)]
= (33)/(11) = 9.
- Xét tiếp trường hợp a = 0, b = 1:
P = [(0^2 + 21 + 3)(1^2 + 30 + 3)] / [(20 + 1)(21 + 1)]
= [(0 + 2 + 3)(1 + 0 + 3)] / [(1)(2 + 1)]
= (5 * 4) / 3 = 20/3 ≈ 6.67.
- Xét tiếp trường hợp a = 1, b = 0:
P = [(1^2 + 20 + 3)(0^2 + 31 + 3)] / [(21 + 1)(20 + 1)]
= [(1 + 0 + 3)(0 + 3 + 3)] / [(2 + 1)(0 + 1)]
= (4 * 6) / 3 = 24/3 = 8.
- Khi a = 1, b = 1:
P = [(1^2 + 21 + 3)(1^2 + 31 + 3)] / [(21 + 1)(21 + 1)]
= [(1 + 2 + 3)(1 + 3 + 3)] / [(2 + 1)(2 + 1)]
= (6 7) / (3 3) = 42 / 9 = 14/3 ≈ 4.67.

3. Chứng minh giá trị nhỏ nhất:
- Với các điểm thử nghiệm từ trên, giá trị nhỏ nhất mà chúng ta đã tìm thấy là 20/3 và nó xấp xỉ nhỏ hơn 9.
- Để chứng minh chưa có giá trị nhỏ hơn 6.67, ta cần thực hiện tối ưu hóa biểu thức, có thể sử dụng các phương pháp tối ưu hóa như bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM, nhưng không cần thiết ở đây vì chúng ta đã tìm thấy các thử nghiệm với các giá trị của a và b.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 20/3.