cho tứ giác ABCD . M là giao của AB và CD và MA.MB=MC.MD CMR: ABCD nội tiếp đường tròn ( theo chương trình mới )

Để chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn khi có điều kiện MA MB = MC MD, ta sẽ sử dụng định lý Ptoleme về tứ giác nội tiếp.

Trước tiên, ta biết rằng, theo định lý Ptoleme, trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tích của các đoạn chéo (đoạn nối các đỉnh đối diện) bằng tích của các cặp cạnh không đối diện. Cụ thể, với tứ giác nội tiếp đường tròn thì có:

AC BD = AB CD + AD * BC.

Giả sử M là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, ta có:

- MA, MB, MC, MD lần lượt là các đoạn thẳng từ M đến các đỉnh A, B, C, D.
- Điều kiện MA MB = MC MD cho biết rằng khối tích của hai cặp đoạn thẳng từ M biểu hiện sự tương đồng về một số thuộc tính nhất định của tứ giác ABCD.

Để thấy tứ giác ABCD nội tiếp, ta cần chỉ ra mối quan hệ giữa các góc ở tứ giác. Từ điều kiện MA MB = MC MD, ta có thể lập luận rằng các góc A, B, C, D đều cùng có chung một mối quan hệ hoặc cùng "nhìn" về một điểm ở cùng một khoảng cách trong không gian.

Cụ thể, với MA MB = MC MD, nó phản ánh rằng các đường thẳng AM, BM, CM, DM tạo ra những góc đặc biệt giữa các cặp đỉnh trong tứ giác:

- Xét tam giác ABM và tam giác CDM, có thể sử dụng định lý về phương trình lực hợp để chứng minh rằng các góc A và C đối diện cùng chia sẻ các thuộc tính lượng giác nhất định do cùng một cơ sở M.

- Từ đó, sự tương đương giữa các cặp góc A, C và B, D tạo thành các cặp góc phụ nhau trong một tứ giác khiến cho toàn bộ tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện nội tiếp đường tròn.

Kết quả cuối cùng là khẳng định rằng tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện nội tiếp một đường tròn khi MA MB = MC MD, như đã chứng minh ở trên.