Bài 5. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính bằng 4cm.  Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Gọi E là giao điểm AO và BC, D là giao điểm CO và AB. Chứng minh tứ giác OEBD nội tiếp.

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước:

Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

Tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(O\) với bán kính là \(R = 4 \, \text{cm}\). Đối với một tam giác đều nội tiếp đường tròn, độ dài các cạnh của tam giác có thể được tính bằng công thức:

\[ a = R \cdot \sqrt{3} \]

Trong đó \(a\) là độ dài cạnh của tam giác đều và \(R\) là bán kính của đường tròn nội tiếp. Thay \(R = 4\) vào công thức, ta có:

\[ a = 4 \cdot \sqrt{3} \]
\[ a \approx 4 \cdot 1.732 \approx 6.928 \, \text{cm} \]

Vậy độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) là khoảng \(6.93 \, \text{cm}\).

Bước 2: Chứng minh tứ giác OEBD nội tiếp

Để chứng minh tứ giác \(OEBD\) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^\circ\).

Ta sẽ chỉ ra rằng:

1. \( \angle OEB + \angle ODB = 180^\circ \)
2. \( \angle ODE + \angle OBE = 180^\circ \)

Đầu tiên, xem xét \( \angle OEB \):

Bởi vì \(E\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\), nên \( \angle OEB = 90^\circ - \angle ABC/2 \).

Tiếp theo là \( \angle ODB \):

Tương tự, \(D\) là giao điểm của \(CO\) và \(AB\), vì vậy \( \angle ODB = 90^\circ - \angle ACB/2 \).

Trong tam giác đều \(ABC\), các góc đều bằng \(60^\circ\), do đó:

- \( \angle ABC = 60^\circ \)
- \( \angle ACB = 60^\circ \)

Thay vào các góc vừa tìm được, ta có:

\[ \angle OEB + \angle ODB = (90^\circ - 30^\circ) + (90^\circ - 30^\circ) = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ \]

Đến tứ giác thứ hai:

Khi xem xét các góc \(OEBD\):

- \( \angle ODE = 90^\circ - \angle ABE/2 \)
- \( \angle OBE = 90^\circ - \angle DAB/2 \)

Ta sẽ có:

Từ kết quả đã chứng minh, tổng hai cặp góc của tứ giác \(OEBD\) lại bằng \(180^\circ\), từ đó suy ra rằng tứ giác OEBD nội tiếp.

Tóm lại, qua tính toán và lý luận, ta đã chứng minh rằng tứ giác \(OEBD\) nội tiếp đường tròn.