cho `(x+sqrt(x^2+1))(y+sqrt(y^2+1))=1 tính giá trị (x+y)

Để giải bài toán đã cho, ta có phương trình:

\[
(x + \sqrt{x^2 + 1})(y + \sqrt{y^2 + 1}) = 1.
\]

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức \( \sqrt{x^2 + 1} \) và \( \sqrt{y^2 + 1} \) luôn dương vì \( x^2 + 1 \geq 1 \) và \( y^2 + 1 \geq 1 \). Do đó, \( x + \sqrt{x^2 + 1} > 0 \) và \( y + \sqrt{y^2 + 1} > 0 \).

Ta có thể viết lại phương trình như sau để tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\):

\[
x + \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{y + \sqrt{y^2 + 1}}.
\]

Giả sử \( a = x + \sqrt{x^2 + 1} \) và \( b = y + \sqrt{y^2 + 1} \), lúc này ta có:

\[
ab = 1 \implies b = \frac{1}{a}.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ điều tra giá trị của \( a \):

Ta viết lại \( a \) như sau:

\[
\sqrt{x^2 + 1} = a - x \implies x^2 + 1 = (a - x)^2.
\]

Mở rộng bình phương:

\[
x^2 + 1 = a^2 - 2ax + x^2 \implies 1 = a^2 - 2ax.
\]

Từ đó, ta tìm được \(ax\):

\[
2ax = a^2 - 1 \implies x = \frac{a^2 - 1}{2a}.
\]

Tương tự cho \( y \):

\[
y + \sqrt{y^2 + 1} = \frac{1}{a} \implies \sqrt{y^2 + 1} = \frac{1}{a} - y.
\]

Mở rộng bình phương:

\[
y^2 + 1 = \left( \frac{1}{a} - y \right)^2 \implies y^2 + 1 = \frac{1}{a^2} - \frac{2y}{a} + y^2.
\]

Rút gọn:

\[
1 = \frac{1}{a^2} - \frac{2y}{a} \implies 2y = \frac{1}{a^2} - 1 \implies y = \frac{1 - a^2}{2a^2}.
\]

Bây giờ, ta có giá trị của \( x \) và \( y \):

\[
x = \frac{a^2 - 1}{2a}, \quad y = \frac{1 - a^2}{2a^2}.
\]

Cộng hai giá trị này lại, ta được:

\[
x + y = \frac{a^2 - 1}{2a} + \frac{1 - a^2}{2a^2} = \frac{(a^2 - 1)a + (1 - a^2)}{2a^2} = \frac{a^3 - a + 1 - a^2}{2a^2} = \frac{a^3 - a^2 - a + 1}{2a^2}.
\]

Với điều kiện \( ab = 1 \), tức là \( b = \frac{1}{a} \):

Nhận ra rằng nếu \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( ab = 1 \), thì \( x + y \) trở thành một giá trị phụ thuộc vào \( a \). Tuy nhiên, nếu \( a = -1 \) thì \( b = -1 \) và sẽ dẫn đến trường hợp mô tả \( x + y = 0 \).

Cuối cùng, sau khi phân tích, ta rút ra rằng \( x + y = 0\) tự nhiên thỏa mãn phương trình ban đầu. Do đó, giá trị của \(x + y\) là:

\[
\text{Kết quả: } x + y = 0.
\]