CMR nếu a,b,c là bà số thoả a+b+c=2000 và 1/a+1/b+1/c=1/200 thì 1 trong ba số a,b,c phải có một số bằng 200

Để chứng minh rằng một trong ba số a, b, c phải bằng 200, ta sẽ bắt đầu từ các điều kiện đã cho.

Ta có:
1. a + b + c = 2000
2. 1/a + 1/b + 1/c = 1/200

Từ điều kiện thứ hai, ta có thể viết lại như sau:
1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab) / (abc) = 1/200

Điều này dẫn đến:
bc + ac + ab = (abc) / 200.

Bây giờ, ta thay a + b + c = 2000 vào phương trình trên. Từ đó ta chuyển hóa theo abc:
gọi S = abc, P = ab + bc + ac, Q = a + b + c.

Ta có P = (S * 200) và Q = 2000, do đó ta có hệ phương trình:
1. Q = 2000
2. P = S / 200

Sử dụng (1):
S = 200(2000) = 400000.

Thay vào (2):
P = 400000 / 200 = 2000.

Ta đã có a + b + c = 2000 và ab + ac + bc = 2000. Giờ ta sẽ xem xét các số a, b, c.

Giả sử a, b, c lần lượt là x, y, z. Theo định lý bất đẳng thức, ta có:
x + y + z = 2000 (1)
1/x + 1/y + 1/z = 1/200 (2)

Từ (1) và (2), nhân cả hai vế của (2) với xyz:
yz + xz + xy = xyz / 200.

Sử dụng bất đẳng thức AM-HM, ta nhận thấy rằng \( (x + y + z) / 3 \geq 3 / (1/x + 1/y + 1/z) \), từ đó, x + y + z phải lớn hơn hoặc bằng 3 lần và nhỏ hơn hoặc bằng 2000. Điều này cho thấy không thể có a, b, c đều nhỏ hơn 200 mà vẫn thỏa mãn các điều kiện trên.

Như vậy, ít nhất một trong các số a, b, c phải bằng 200 để sự phân bố có thể thoả mãn cả hai điều kiện là tổng và tổng nghịch đảo. Dễ dàng thấy rằng nếu một số là 200 thì hai số còn lại có thể giao động và tổng sẽ vẫn thỏa mãn.

Từ đây, kết luận rằng ít nhất một trong ba số a, b, c phải bằng 200 để các điều kiện đã cho được thỏa mãn.