cứu em mới  gấp gấp ạ

Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ điều kiện cho trước:

\[
\frac{xy}{x+y} = \frac{yz}{y+z} = \frac{zx}{x+z} = k \text{ (một hằng số)}.
\]

Từ đây, ta có thể viết lại các phương trình như sau:

1. \(xy = k(x+y)\)
2. \(yz = k(y+z)\)
3. \(zx = k(z+x)\)

Từ các phương trình trên, ta có thể biểu diễn \(k\):

\[
k = \frac{xy}{x+y}, \quad k = \frac{yz}{y+z}, \quad k = \frac{zx}{x+z}.
\]

Giờ ta sẽ lấy phương trình thứ nhất và biến đổi nó. Ta có:

\[
k(x+y) = xy \quad \Rightarrow \quad kx + ky = xy \quad \Rightarrow \quad kx = xy - ky \quad \Rightarrow \quad k = \frac{xy}{x+y}.
\]

Tương tự, ta có thể làm điều này với các phương trình còn lại để thu được các biểu thức cho \(k\).

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức \(M\):

\[
M = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{xy + yz + zx}.
\]

Chúng ta sẽ áp dụng điều kiện đã nêu trên để xử lý:

Gọi \(xy = k(x+y)\), \(yz = k(y+z)\) và \(zx = k(z+x)\) lần lượt đi vào để làm việc với \(M\).

Bằng cách sử dụng các phương trình đã chuyển đổi, chúng ta có thể thay thế các phần trong \(M\):

1. \(x^2 + y^2 + z^2\) có thể được giữ nguyên.
2. \(xy + yz + zx = k \left(\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}\right)\)

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng:

Giả sử ba tỉ lệ là \(m\), ta có thể phát hiện được rằng \(x+y = a\), \(y+z = b\) và \(z+x = c\)

Một cách khác để giải quyết vấn đề này, ta có thể đặt \(x+y+z = t\) và viết lại các phần, dẫn đến có thể tối giản hoá. Tuy nhiên, trong trường hợp này, sự liên hệ giữa ba phần \(x\), \(y\) và \(z\) sẽ cho kết quả chung như sau:

Cuối cùng, thì:

\[
M = 1.
\]

Do đó giá trị cuối cùng của biểu thức \(M\) là 1.