Phân tích đa thức thành nhân tử (thêm bớt cùng 1 hạng tử): a) $x^{3}$ - 19x - 30 b) $x^{5}$ + x - 1 Mọi người giải thích cách làm giúp e với nhé

a) Để phân tích đa thức $x^{3} - 19x - 30$, ta có thể áp dụng cách thêm bớt một hạng tử. Mục đích là biến đổi đa thức sao cho có thể lập thành nhân tử.

Bước 1: Xác định các giá trị khả thi của $x$ để biết liệu đa thức có thể chia hết cho một đa thức bậc thấp hơn hay không. Ta sẽ thử các giá trị như $x = -3, -2, -1, 0, 1, 2,...$ cho đến khi tìm được giá trị mà đa thức bằng 0.

Bước 2: Thử giá trị $x = 3$:
$$3^3 - 19(3) - 30 = 27 - 57 - 30 = -60 \quad (\text{sai})$$
Thử $x = -3$:
$$(-3)^3 - 19(-3) - 30 = -27 + 57 - 30 = 0 \quad (\text{đúng})$$
Như vậy, $x = -3$ là một nghiệm của đa thức. Điều này có nghĩa là $(x + 3)$ là một thừa số của đa thức.

Bước 3: Sử dụng phép chia đa thức để chia $x^3 - 19x - 30$ cho $(x + 3)$:
- Khi chia, ta có:
$$x^3 \div (x + 3) = x^2$$
Nhân $x^2$ với $(x + 3)$ ta được $x^3 + 3x^2$. Trừ đi để tìm phần dư.
$$x^3 - 19x - 30 - (x^3 + 3x^2) = -3x^2 - 19x - 30$$
Tiếp tục chia $-3x^2$ cho $(x + 3)$:
$$-3x^2 \div (x + 3) = -3x$$
Nhân $-3x$ với $(x + 3)$ cho lại, ta có $-3x^2 - 9x$. Vậy phần dư sẽ là:
$$-3x^2 - 19x - 30 - (-3x^2 - 9x) = -10x - 30$$
Cuối cùng, chia $ -10x $ cho $(x + 3)$ và thu được $-10$:
$$-10x - 30 - (-10)(x + 3) = 0$$
Do đó, ta có thể viết:
$$x^3 - 19x - 30 = (x + 3)(x^2 - 3x - 10)$$

Bước 4: Phân tích tiếp $x^2 - 3x - 10$.
Tìm nghiệm bằng công thức nghiệm:
$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 41(-10)}}{2*1} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}.$$
Hai nghiệm là $x = 5$ và $x = -2$.

Cuối cùng, đa thức được phân tích như sau:
$$ x^3 - 19x - 30 = (x + 3)(x - 5)(x + 2). $$


b) Đối với đa thức $x^{5} + x - 1$, ta không có cách nào rõ ràng để thêm bớt hạng tử. Chúng ta sẽ kiểm tra một vài giá trị để tìm nghiệm.

Bước 1: Thử giá trị $x = 0$:
$$0^5 + 0 - 1 = -1 \quad (\text{sai})$$
Thử $x = 1$:
$$1^5 + 1 - 1 = 1 \quad (\text{sai})$$
Thử $x = -1$:
$$(-1)^5 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3 \quad (\text{sai})$$
Thử $x = 0.5$:
$$0.5^5 + 0.5 - 1 = 0.03125 + 0.5 - 1 = -0.46875 \quad (\text{sai})$$
Thử $x = 1$ và $x = -1$ không có kết quả. Thử tiếp $x = -0.5$:
$$(-0.5)^5 - 0.5 - 1 = -0.03125 - 0.5 - 1 = -1.53125 \quad (\text{sai})$$

Việc tìm nghiệm cho đa thức bậc 5 này khá khó khăn và không có nghiệm ra số nguyên cần phải tìm khỏi hay sử dụng máy tính.

Giai đoạn phân tích với đa thức bậc 5 sẽ phức tạp hơn do nó có thể có các nghiệm phức hoặc không có nghiệm thực nào hợp lệ. Câu hỏi có thể mở rộng cho những đa thức cao hơn mà tiếp tục sử dụng lý thuyết nghiệm và phương pháp Newton-Raphson hoặc tìm ra gần đúng bằng mô hình hóa phần mềm.

Như vậy, chúng ta sẽ không có cách phân tích theo hạng tử cho đa thức này trong dạng đơn giản như ở câu a.