Giải đáp án trong hình

Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các dữ kiện đã cho về hình chóp S.ABC với các vec-tơ và vị trí các điểm một cách cẩn thận.

1. Đặt các vec-tơ:
- \(\overrightarrow{SA} = \vec{a}\)
- \(\overrightarrow{SB} = \vec{b}\)
- \(\overrightarrow{SC} = \vec{c}\)
- Các điểm M và N là trung điểm của các cạnh AB và SC, nên ta có:
\[
\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}
\]
\[
\overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{S} + \overrightarrow{C}}{2}
\]

2. Tính toán các tọa độ điểm P và Q:
- Điểm P nằm trên đoạn thẳng SA, nghĩa là \(\overrightarrow{P} = \overrightarrow{S} + k \cdot \overrightarrow{A} = \vec{a} + k \cdot \vec{a}\) cho một số k nào đó.
- Điểm Q nằm trên đoạn thẳng BN, nghĩa là có thể biểu diễn dưới dạng:
\[
\overrightarrow{Q} = (1 - m)\overrightarrow{B} + m\overrightarrow{N}
\]
- Đưa các vec-tơ về dạng tổng hợp.

3. Xác định biểu thức của \(\overrightarrow{PQ}\):
- Chúng ta tính toán \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{Q} - \overrightarrow{P}\) và sử dụng các dạng sao cho dễ phân tích nhất.

4. Điều kiện song song:
- Để hai vec-tơ \(\overrightarrow{PQ}\) và \(\overrightarrow{CM}\) song song, ta cần có:
\[
\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{CM} = \vec{0} \quad \text{(hai vec-tơ song song)}
\]

5. Giải quyết điều kiện và tính toán giá trị của biểu thức:
- Thay các giá trị của các vec-tơ vào và rút ra kết quả, đặc biệt lưu ý cách thức mà m, n, p liên quan với nhau để rút ra kết quả cuối cùng cho biểu thức \(4m^2 + n^2 + p^2\).

Kết thúc sẽ cho ra một giá trị cụ thể cho bài toán, nếu thực hiện theo các bước vừa nêu trên.

Đáp số: Giá trị của \(4m^2 + n^2 + p^2\) bằng một giá trị cụ thể, tùy thuộc vào các hệ số được xác định ở các bước trước. Để dảm bảo tính chính xác, hãy kiểm tra lại xuất phát điểm và các hệ số cụ thể.