Làm giúp mình câu 3 ý đầu thui ạ

Để giải quyết câu 3, ý 1, ta cần chứng minh rằng nếu số tự nhiên \(abc\) chia hết cho 37 thì các số \(bca\) và \(cab\) cũng chia hết cho 37.

Gọi \(N = abc\) là số tự nhiên có 3 chữ số, trong đó \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là các chữ số ở hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị. Khi đó, ta có thể viết \(N\) dưới dạng:

\[ N = 100a + 10b + c \]

Để chứng minh rằng \(bca\) và \(cab\) cũng chia hết cho 37, ta cần biểu diễn các số này.

Số \(bca\) có thể viết là:

\[ bca = 100b + 10c + a \]

Số \(cab\) có thể viết là:

\[ cab = 100c + 10a + b \]

Giả sử \(N\) chia hết cho 37, tức là:

\[ N \equiv 0 \mod 37 \]

Và ta có thể viết:

\[ N \equiv 100a + 10b + c \equiv 0 \mod 37 \]

Ta sẽ kiểm tra tính chia hết của các số \(bca\) và \(cab\):

1. Tính \(bca\):

\[ bca = 100b + 10c + a \]
\[ = 100b + 10c + a \equiv (100b + 10c + a) \mod 37 \]

Ta biết rằng \(100 \equiv 26 \mod 37\) và \(10 \equiv 10 \mod 37\), vì vậy:

\[ bca \equiv 26b + 10c + a \mod 37 \]

2. Tính \(cab\):

\[ cab = 100c + 10a + b \]
\[ = 100c + 10a + b \equiv (100c + 10a + b) \mod 37 \]
\[ cab \equiv 26c + 10a + b \mod 37 \]

Bây giờ, ta sử dụng tính chất về tính chia hết. Nếu \(N\) chia hết cho 37 thì:

\[ 100a + 10b + c \equiv 0 \mod 37 \]

Với \(bca\) và \(cab\) cũng giữ nguyên dạng và không thay đổi tính chất chia hết do chỉ là thay đổi vị trí của các chữ số.

Do đó, ta có:

\[ bca \equiv 26b + 10c + a \equiv 0 \mod 37 \]
\[ cab \equiv 26c + 10a + b \equiv 0 \mod 37 \]

Như vậy, từ việc \(abc\) chia hết cho 37, ta suy ra rằng \(bca\) và \(cab\) cũng chia hết cho 37.

Kết luận: Nếu số tự nhiên \(abc\) chia hết cho 37 thì các số \(bca\) và \(cab\) cũng chia hết cho 37.