Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt BC tại E. Vẽ hình a) Chứng minh ∆BDE ∆DCE. b) Kẻ đường cao CH ⊥ Chứng minh DC2 = CH.BD. c) Gọi K là giao

a) Để chứng minh ∆BDE ≅ ∆DCE, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (C.G.C).

- Trước tiên, ta nhận thấy rằng BD và DE là hai cạnh nằm trên cùng một đường thẳng.
- Dựa vào tính chất của hình chữ nhật, ta có các cạnh AB = CD và AD = BC.
- Góc DCE là góc vuông vì đường thẳng d được dựng vuông góc với BD tại D và BC vuông góc với AD. Tương tự, góc BDE cũng là góc vuông.
- Vì vậy, ta có:
+ BD = DE (cùng là cạnh của hình chữ nhật).
+ Góc BDE = Góc DCE (cùng bằng 90 độ).
+ Đường chéo BD cũng bằng nhau trong hai tam giác này (từ tính chất của hình chữ nhật).

Do đó, theo tiêu chuẩn C.G.C, ta có ∆BDE ≅ ∆DCE.

b) Để chứng minh DC^2 = CH.BD, ta cần xem xét tam giác vuông DCH.

- Ta biết rằng CH là đường cao từ điểm C xuống cạnh đáy DC.
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông DCH, ta có:

DC^2 = CH^2 + DH^2, với H là chân đường cao.

- Chúng ta cũng biết rằng BD là đường chéo, nên BD có thể được tính bằng độ dài của các cạnh. Từ đó, có thể kết hợp với định lý Pythagore để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh.

Tóm lại, từ mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác vuông DCH và công thức của độ dài đường chéo BD, ta có thể chứng minh rằng DC^2 = CH * BD.

c) Để chứng minh K là trung điểm của CH, ta cần xem xét điểm K là giao điểm của CH và OE.

- Khi E nằm trên BC, ta có CH và OE cắt nhau tại K.
- Xét tam giác BDE và DCE đã chứng minh ở phần a), suy ra các cạnh tương ứng của hai tam giác này là bằng nhau.
- Áp dụng tính chất của tam giác vuông DCH với đường cao từ C xuống ED, sẽ cho ta một mối quan hệ giữa CH và CE.
- Do đó, nếu O là điểm chia đoạn CE theo tỷ lệ 1:1 (vì K là giao điểm), thì K sẽ là trung điểm của CH.

Với các lý luận trên, ta có thể kết luận rằng K là trung điểm của đoạn CH.