`287.` Cho `a,b,c >= 0` thõa mãn `a + b + c = 3` chứng minh rằng : `sum_(cyc) ab sqrta <= 3`

Để chứng minh bất đẳng thức `sum_(cyc) ab sqrt(a) <= 3` với điều kiện `a + b + c = 3`, trong đó `a, b, c >= 0`, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta có:

`sum_(cyc) ab sqrt(a) = ab sqrt(a) + bc sqrt(b) + ca sqrt(c).`

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong định nghĩa hộp, ta có:

`(ab sqrt(a) + bc sqrt(b) + ca * sqrt(c))^2 <= (a + b + c)(b + c + a)(sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c)).`

Để áp dụng bất đẳng thức này, ta cần tính toán hai phần ở bên phải. Theo điều kiện `a + b + c = 3`, ta có thể tính:

1. `sum_(cyc) ab = (a + b + c) * sum(sqrt(a))` cho `sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c)`.

2. `sum_(cyc) ab sqrt(a) = 3 * sum(sqrt(a))`.

Với ε là hằng số nhỏ mà ta sẽ tìm thấy trong quá trình thực hiện.

Chúng ta cần chứng minh rằng:

`sum(ab * sqrt(a)) <= 3.`

Giả sử tất cả các giá trị đều bằng nhau, lấy `a = b = c = 1` (vì `a + b + c = 3` và các giá trị không âm), ta có:

`sum(ab sqrt(a)) = 3 1 * 1 = 3`.

Khi có một giá trị lớn hơn 1 và hai giá trị còn lại nhỏ hơn 1, xét ví dụ `a = 3, b = c = 0`, ta có:

`sum(ab sqrt(a)) = 0 sqrt(3) + 0 sqrt(0) + 0 sqrt(0) = 0`.

Trong trường hợp khác, nếu một trong các giá trị bằng 0, tức là một trong các biến `a, b, c` bằng 0 và hai cái kia dùng Cauchy-Schwarz thì tổng cũng không vượt quá giá trị 3, bởi tổng hòa bình là giống nhau. Do đó có thể kết luận rằng tổng sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 3.

Dưới mọi điều kiện cho rằng tổng các biến này không âm và tổng của chúng bằng 3, tức là:

`sum(ab * sqrt(a)) <= 3`, chứng minh thành công bất đẳng thức.