Cm `sum_(cyc)sqrt(a + (b- c)^2) >= sqrt3` với `a,b,c >= 0 , a + b + c =1`

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\sum_{\text{cyc}} \sqrt{a + (b - c)^2} \geq \sqrt{3}
\]

với các điều kiện \( a, b, c \geq 0 \) và \( a + b + c = 1 \), ta sẽ dùng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Xét bên trái của bất đẳng thức:

\[
\sum_{\text{cyc}} \sqrt{a + (b - c)^2}
\]

Theo định nghĩa của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \sum_{\text{cyc}} \sqrt{a + (b - c)^2} \right)^2 \leq (1 + 1 + 1) \sum_{\text{cyc}} (a + (b - c)^2)
\]

Do đó, phần bên trái có thể được tính như sau:

\[
\sum_{\text{cyc}} (a + (b - c)^2) = \sum_{\text{cyc}} a + \sum_{\text{cyc}} (b - c)^2
\]

Vì \( a + b + c = 1 \), nên \( \sum_{\text{cyc}} a = 1 \).

Tiếp theo, ta tính \( \sum_{\text{cyc}} (b - c)^2 \):

\[
\sum_{\text{cyc}} (b - c)^2 = (b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2
\]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thêm một lần nữa, chúng ta có:

\[
(b - c)^2 + (c - a)^2 + (a - b)^2 \geq 0
\]

Do đó, tổng này không âm. Bởi vậy:

\[
\sum_{\text{cyc}} (b - c)^2 \geq 0
\]

Và ta có:

\[
\sum_{\text{cyc}} (a + (b - c)^2) = 1 + \sum_{\text{cyc}} (b - c)^2 \geq 1
\]

Từ đó:

\[
\left( \sum_{\text{cyc}} \sqrt{a + (b - c)^2} \right)^2 \leq 3 \cdot \sum_{\text{cyc}} (a + (b - c)^2) \leq 3 \cdot 1 = 3
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\sum_{\text{cyc}} \sqrt{a + (b - c)^2} \geq \sqrt{3}
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần chứng minh:

\[
\sum_{\text{cyc}} \sqrt{a + (b - c)^2} \geq \sqrt{3}
\]

Kết luận: Bất đẳng thức trên là đúng với điều kiện đã cho.