B)chứng minh EF vuông góc AK C)Tính AH theo R

B) Để chứng minh EF vuông góc với AK, trước tiên ta cần lưu ý rằng M là trung điểm của BC. Từ điều này, AB và AC là hai đoạn thẳng từ A đến B và C, tương ứng. Vì AD, BE, CF cắt nhau tại H, và E, F đều thuộc đường tròn tâm O, bán kính R, nên E và F sẽ có những tính chất đặc biệt liên quan đến tam giác ABC.

Ta có tứ giác BCEF. Theo định lý tứ giác nội tiếp, nếu tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp thì tổng các góc đối diện sẽ bằng 180 độ. Cụ thể:
- ABE + ACF = 180 độ.

Khi đó, với AH là đường kính của đường tròn, ta có góc AHE 90 độ tại H (tính chất đường kính). Do đó, EF phải vuông góc với AK, vì AK là đường kính đi qua A và H.

C) Để tính AH theo R, ta xét góc BAC = 60 độ. Theo định lý sin trong tam giác AHC, ta có:
- AH = 2R * sin(BAC/2).

Thay vào đó, ta có:
- BAC = 60 độ → BAC/2 = 30 độ.

Vậy:
AH = 2R sin(30 độ) = 2R 1/2 = R.

Tóm lại, AH = R.