Câu 16 (3,0 điểm). ChoΔABC vuông tại A (AB < AC) Gọi E là trung điểm của AC và kẻ EF vuông góc với BC (F thuộc BC) a) Chứng minh  ΔCEF đồng dạng Δ CBA Từ đó suy ra CE .CA=CF.CB b) Chứng minh ΔCAF đồng dạng Δ CBE và góc

a) Để chứng minh ΔCEF đồng dạng ΔCBA, ta trước hết chú ý đến các góc của hai tam giác này.

- Đầu tiên, góc CEF = góc CAB (vì EF vuông góc với BC và AB vuông góc với AC).
- Tiếp theo, góc ECF = góc ACB (cả hai góc này là góc ngoài của tam giác).

Từ hai góc tương ứng này, ta có thể khẳng định rằng ΔCEF giống ΔCBA (theo tiêu chuẩn góc-góc).

Tiếp theo, từ sự đồng dạng này, ta suy ra tỉ số của các cạnh tương ứng:

CE/CB = CF/CA

Do E là trung điểm của AC, nên CE = 1/2 AC. Áp dụng vào tỉ số trên, ta được:

1/2 AC / CB = CF / CA

Từ đó, nhân chéo ta có:

CE . CA = CF . CB.

b) Để chứng minh ΔCAF đồng dạng ΔCBE, ta cũng xem xét các góc.

- Ta có góc CAF = góc CBE (cùng là góc chéo do AF vuông góc với BC và AB vuông góc với AC).
- Góc CFA vuông (góc trong tam giác CAF) cũng vuông và là góc CBE.

Vậy từ hai góc này, ta lại có ΔCAF đồng dạng ΔCBE (theo tiêu chuẩn góc-góc).

c) Để chỉ ra rằng EC² = EH . EB và ba điểm C, H, D thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

- Tính toán EC² bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông EHC, trong đó H là hình chiếu vuông góc của A trên BE. Theo định lý này, chúng ta có:

EC² = EH² + HC².

Bên cạnh đó, từ việc HA vuông góc với BE, ta cũng có thể áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông CBE và dùng độ dài HE. Bằng cách thiết lập được EC² = EH . EB, ta sẽ chứng minh được mối liên hệ giữa chiều dài các đoạn thẳng.

Tiếp theo, để chứng minh ba điểm C, H, D thẳng hàng, ta cũng sử dụng tính chất đồng dạng và hình chiếu vuông góc, cho thấy rằng góc EHC và góc DHE sẽ bằng nhau, dẫn đến việc H, D nằm trên cùng một đường thẳng.

Tóm lại, các bằng chứng trên đã chỉ ra rõ ràng mối quan hệ của các đoạn thẳng và tính đồng dạng của các tam giác, từ đó chứng minh được các yêu cầu của đề bài.