Đúng / Sai Giúp em với  Em cảm ơn ạ

Để giải câu hỏi này, ta sẽ đi từng phần một:

a) \( \vec{n} = (1; 2; -3) \) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

- Mặt phẳng \((P)\) có phương trình là \(x + 2y - 3z - 5 = 0\).
- Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, ta nhìn vào hệ số của \(x\), \(y\) và \(z\) trong phương trình.
- Vậy, vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) là \( (1, 2, -3) \).
- Điều này đúng, vì vectơ này đúng với định nghĩa của vectơ pháp tuyến.

=> Đúng.

b) Đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \((P)\) có phương trình là \(\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{-3}\).

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((P)\) sẽ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến \((1, 2, -3)\).
- Điểm \(A(1; 3; -2)\) nằm trên đường thẳng này và phương trình đường thẳng có dạng \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\), trong đó \( (x_0, y_0, z_0) \) là điểm trên đường thẳng và \((a, b, c)\) là vectơ chỉ phương.
- Vậy, đường thẳng qua \(A(1, 3, -2)\) với vectơ chỉ phương là \( (1, 2, -3) \) sẽ có phương trình như trên.

=> Đúng.

c) Tọa độ hình chiếu của \(A\) trên \((P)\) là \( H(0; 1; -1) \).

- Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng, ta cần tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) và đi theo phương của vectơ pháp tuyến.
- Tuy nhiên, ngay từ đầu ta giả định rằng \(H(0; 1; -1)\) là hình chiếu của \(A\) mà không tính toán. Phải tính toán chính xác để xác định tọa độ này.
- Người ta có thể sử dụng công thức hình chiếu hoặc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để đi đến kết luận.

=> Sai (cần kiểm tra lại tính toán).

d) Mặt cầu tâm \(A\), bán kính bằng khoảng cách từ \(A\) đến \((P)\) có phương trình \((x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 6\).

- Để tìm khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\), ta sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
- Với \(A(1; 3; -2)\) và mặt phẳng \(P: x + 2y - 3z - 5 = 0\), ta có:
\[ d = \frac{|11 + 23 + (-3)(-2) - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}} = \frac{|1 + 6 + 6 - 5|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{8}{\sqrt{14}} \]
- Khoảng cách này không bằng 6, vì vậy bán kính không đúng là 6.

=> Sai.

Tóm lại:

a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai