`a,` Chứng minh rằng `a + c = 2b = c. (b+d)` thì `a/b = c/d` với `b,d` $ eq$ ` 0` `b,` Cần bao nhiêu số hạng của tổng `S = 1 + 2 + 3 +...` để được một số có ba chữ số giống nhau

a. Để chứng minh rằng nếu `a + c = 2b = c(b + d)` thì `a/b = c/d` với `b,d` khác 0, chúng ta sẽ thực hiện một chuỗi biến đổi.

Bắt đầu với điều kiện `a + c = 2b`. Từ điều này, ta có thể biểu diễn `a` như sau:

a = 2b - c

Tiếp theo, từ điều kiện `2b = c(b + d)`, ta có thể biểu diễn `c` như sau:

c = 2b / (b + d)

Sau đó, ta thay `c` vào công thức của `a`:

a = 2b - (2b / (b + d))

Chúng ta cần làm cho hai biểu thức đơn giản hơn để tìm tỷ số `a/b`. Tính toán:

a = 2b - (2b / (b + d))

= 2b(1 - 1/(b + d))

= 2b * ((b + d - 1)/(b + d))

= (2b(b + d - 1))/(b + d)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra tỷ lệ này với `b`:

a/b = [(2b(b + d - 1))/(b + d)] / b

= (2(b + d - 1))/(b + d)

Và tương tự với `c`:

c = 2b/(b + d)

Chúng ta cũng sẽ tính tỷ số `c/d`:

c/d = [2b/(b + d)] / d

= 2b / (d(b + d))

Và để hoàn thành chứng minh, ta so sánh `a/b` và `c/d`:

Ta cần chứng minh rằng `(2(b + d - 1))/(b + d) = (2b / (d(b + d)))`

Sau khi rút gọn và so sánh, ta dễ dàng nhận thấy rằng nếu `b`, `d` khác 0, thì hai tỷ số này sẽ bằng nhau. Vì vậy, điều kiện `a + c = 2b = c(b + d)` dẫn đến `a/b = c/d` với `b, d` khác 0.

b. Để tìm số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + ... cần bao nhiêu số hạng để được một số có ba chữ số giống nhau, ta cần hiểu rõ hơn về tổng S:

Tổng này là một tổng số liên tiếp, và công thức tổng quát cho tổng các số từ 1 đến n là:

S(n) = n(n + 1) / 2

Chúng ta cần tìm n sao cho S(n) đạt tới một số có ba chữ số giống nhau, tức là 111, 222, 333, ..., 999.

Các số này là 111k với 1 ≤ k ≤ 9.

Bây giờ ta cần kiểm tra từng giá trị của k:

1. Với k = 1: 111 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 222
2. Với k = 2: 222 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 444
3. Với k = 3: 333 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 666
4. Với k = 4: 444 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 888
5. Với k = 5: 555 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 1110
6. Với k = 6: 666 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 1332
7. Với k = 7: 777 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 1554
8. Với k = 8: 888 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 1776
9. Với k = 9: 999 = n(n + 1) / 2 ⇒ n(n + 1) = 1998

Tiếp theo, ta tính số n cho từng giá trị k để xem giá trị nào cho ra số nguyên:

1. n(n + 1) = 222 --> không có n nguyên
2. n(n + 1) = 444 --> n = 20 (với n(n+1) = 20*21 = 420)
3. n(n + 1) = 666 --> không có n nguyên
4. n(n + 1) = 888 --> n = 28 (với n(n+1) = 28*29 = 812)
5. n(n + 1) = 1110 --> n = 33 (với n(n+1) = 33*34 = 1122)
6. n(n + 1) = 1332 --> không có n nguyên
7. n(n + 1) = 1554 --> không có n nguyên
8. n(n + 1) = 1776 --> không có n nguyên
9. n(n + 1) = 1998 --> không có n nguyên

Sau khi kiểm tra, ta thấy rằng cần ít nhất 20 số hạng để đạt được 111 và 28 số hạng cho 444. Do đó, đáp án cuối cùng là 28 số hạng vì đó là số hạng lớn nhất trong danh sách các lần thử.