Cho `0<=a,b,c,d<=1`. Cmr `a+b+c+d+4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)<=4`

Để chứng minh bất đẳng thức `a + b + c + d + 4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) <= 4`, với điều kiện `0 <= a, b, c, d <= 1`, chúng ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức.

Đầu tiên, chúng ta có thể nhìn nhận rằng giá trị lớn nhất của `a + b + c + d` khi tất cả các biến `a`, `b`, `c`, và `d` đều bằng 1, tức là `a + b + c + d = 4`. Đối với trường hợp này, giá trị của biểu thức `4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)` sẽ bằng 0, do tất cả các tham số trong biểu thức `(1-a), (1-b), (1-c), và (1-d)` đều là 0. Như vậy khi `a`, `b`, `c`, `d`=1, chúng ta có:

`a + b + c + d + 4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) = 4 + 0 = 4`.

Bây giờ, chúng ta kiểm tra khi một hoặc nhiều biến nhỏ hơn 1. Giả sử một trong các biến, ví dụ `a`, giảm xuống dưới 1. Khi `a < 1`, thì `1-a > 0`, điều tương tự cũng áp dụng cho các biến `b`, `c`, và `d`. Khi các biến này nhỏ hơn 1, sản phẩm `(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)` sẽ lớn hơn 0 và do đó, `4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)` sẽ cũng lớn hơn 0.

Để xét tổng quát, giá trị của biểu thức `4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)` sẽ bù đắp cho phần còn lại của `a + b + c + d` khi bất kỳ một trong các biến `a, b, c, d` giảm xuống. Ta có thể thay thế từng biến để phân tích giới hạn của biểu thức `a + b + c + d`.

Để đơn giản hóa và tìm ra một cách tổng quát hơn để chứng minh, chúng ta có:

`4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) = 4 - 4(a + b + c + d - ab - ac - ad - bc - bd - cd + abc + abd + acd + bcd - abcd)` (theo phân tích nhị thức).

Như vậy, dễ thấy rằng biểu thức `4 - 4(...)` từ `(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)` sẽ bao trùm mọi trường hợp mà các biến `a, b, c, d` có thể nhận (nằm trong khoảng [0,1]). Tổng đoạn biểu thức là 0 khi mọi biến đều = 1.

Cuối cùng, nếu nhận thêm rằng, `a + b + c + d <= 4` khi `0 <= a, b, c, d <= 1`, thì chắc chắn rằng `a + b + c + d + 4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) <= 4` cũng sẽ luôn thỏa mãn.

Như vậy, bất đẳng thức `a + b + c + d + 4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) <= 4` là đúng cho mọi giá trị `a, b, c, d` trong khoảng [0, 1].