Cho tam giác ABC cân tại A (A>90 độ), trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD=DE=EC. kẻ BH vuông góc AD, CK vuông góc AE ( H ∈ AD ,K ∈ AE). BH cắt CK tại G. a) Chứng minh tam giác ADE cân. b) Chứng minh BH=CK. c) Gọi M

a) Để chứng minh tam giác ADE là tam giác cân, ta sẽ chứng minh rằng AD = AE.

Giả sử A là đỉnh của tam giác ABC, có A > 90 độ. Từ điểm A, kẻ các đường vuông góc BH và CK. Vì B và C nằm cùng một cạnh với A, và D, E lần lượt chia cạnh BC thành ba đoạn bằng nhau. Ta có:

- BD = DE = EC
- Từ tính chất của tam giác cân, nếu A là điểm nhìn của hai đoạn thẳng BD và EC thì ta có các góc ∠ADB và ∠AEC đều lớn hơn 90 độ.

Do đó, từ A đến D và A đến E nằm trong cùng một "nhóm" các điểm tạo thành hai tam giác tương ứng là ADB và AEC. Theo tính chất của tam giác cân, ta có AD = AE.

b) Để chứng minh BH = CK, ta dựa vào hình chữ nhật và tính chất của các đoạn vuông góc. Do BH vuông góc với AD và CK vuông góc với AE, điều này đồng nghĩa với việc nếu gọi H và K lần lượt là các chân đường vuông góc, ta có tam giác BAH và CAK đều là tam giác vuông. Do tính chất của chiều cao trong tam giác vuông, hai đường vuông góc này sẽ có độ dài bằng nhau khi cùng xuống từ hai điểm D và E của BC, tức là BH = CK.

c) Để chứng minh A, M, G thẳng hàng, trước tiên ta nhận thấy M là trung điểm của BC, với D và E nằm trên đoạn BC. G nằm trên đường nối BH và CK, có nghĩa là G thuộc đường vuông góc từ A đến BC. Khi đó, đoạn AM sẽ là đường chéo từ A xuống M.

Dễ dàng thấy rằng G nằm trên đoạn này vì G là điểm giao nhau của hai đường thẳng vuông góc, mà BD, DE, EC đều bằng nhau. Ta có:

AM = AG + MG, và do đó A, M, G thẳng hàng.

d) Để chứng minh AC > AD, ta có thể xem xét góc A. Vì A > 90, tính chất của các góc trong tam giác và định lý về cạnh đối diện cho ta thấy rằng cạnh AC đối diện với góc A sẽ lớn hơn cạnh AD.

Nếu AD và AC cùng nằm trong tam giác ABC (với A là đỉnh), khi A > 90 thì AC phải dài hơn AD. Tức là AC > AD.

e) Để chứng minh DAE > DAB, ta thấy rằng với A > 90 độ, góc bên DAE sẽ lớn hơn góc DAB vì DAE là góc ngoài của tam giác. Do đó, khi xét angle DAE, có A > 90 khiến cho góc DAB nhỏ hơn góc DAE. Như vậy ta có DAE > DAB.

Tóm lại:
a) Tam giác ADE cân vì AD = AE.
b) BH = CK vì cả hai đều là độ dài đường vuông góc từ A.
c) A, M, G thẳng hàng;
d) AC > AD;
e) DAE > DAB do A > 90 độ.