Cho biết M=(n²+3n-1)(n+2)-(n³-2) Cmr:với mọi số nguyên n thì M chia hết cho 5

Để chứng minh rằng biểu thức M = (n² + 3n - 1)(n + 2) - (n³ - 2) chia hết cho 5 với mọi số nguyên n, ta nghiệm cứu từng phần của biểu thức.

Đầu tiên, chúng ta tính M một cách rõ ràng:

M = (n² + 3n - 1)(n + 2) - (n³ - 2)

Ta sẽ phân tích phần đầu tiên:

1. Tính (n² + 3n - 1)(n + 2):
- = n²(n + 2) + 3n(n + 2) - 1(n + 2)
- = n³ + 2n² + 3n² + 6n - n - 2
- = n³ + 5n² + 5n - 2

2. Sau đó, ta trừ (n³ - 2) ra khỏi nó:
- M = (n³ + 5n² + 5n - 2) - (n³ - 2)
- = n³ + 5n² + 5n - 2 - n³ + 2
- = 5n² + 5n

Biểu thức này có thể viết lại thành:
M = 5(n² + n)

Bây giờ, nhìn vào biểu thức 5(n² + n), ta thấy rõ rằng bất kỳ giá trị nào cho n là số nguyên thì n² + n cũng sẽ là một số nguyên. Do đó, M luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Kết luận: Với mọi số nguyên n, biểu thức M = (n² + 3n - 1)(n + 2) - (n³ - 2) luôn chia hết cho 5.