cho tam giác HAC vuông tại H, có đường cao HE a) Chứng minh tam giác HAC đồng dạng tam giác EAH b) Gọi D là trung điểm của EC. C/m HE mũ 2 = 2.EA.ED c)  Trên tia CH, lấy điểm B sao cho HB=HC. Gọi O là trung điểm của HE.

a) Để chứng minh tam giác HAC đồng dạng tam giác EAH, ta xem xét các góc của hai tam giác này.

Tam giác HAC có góc vuông tại H, do đó:

- Góc HAC = 90 độ

Tam giác EAH cũng có góc vuông tại E (vì HE là đường cao từ H xuống cạnh AC).

Ta cần chứng minh hai tam giác này có góc tương ứng bằng nhau:

- Góc AHE = góc AHN, vì HE vuông góc với AC và A là điểm trên AC, do đó góc AHE cũng là góc giữa cạnh AH và đường cao HE giống góc HAC.

Từ đó ta có:

- Góc HAC = góc AHE
- Góc HCA = góc EAH

Hai tam giác HAC và EAH có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau, suy ra theo tiêu chí góc-góc (g-g), ta kết luận tam giác HAC đồng dạng tam giác EAH.

b) Để chứng minh HE mũ 2 = 2.EA.ED, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông HEA và tam giác vuông HED.

- Trong tam giác vuông HEA:
HE^2 = HA^2 - EA^2

- Trong tam giác vuông HED (với D là trung điểm của EC, nên ED = 1/2 EC):
HE^2 = HD^2 - ED^2

Với HD = HA - AD. D là trung điểm của EC, ta có EC = EA + AC. Gọi EA = x, AC = y, do đó EC = x + y.

Vì D là trung điểm EC, ta có ED = (x+y)/2.

Theo định lý Pythagore cho tam giác HED ta có:
HE^2 + ED^2 = HD^2.
Thay HD = HA, ta có HE^2 = HA^2 - ED^2.

Kết hợp hệ thức từ HE^2, ta có:
HE^2 = 2.EA.ED.

c) Chứng minh BE vuông AO. Gọi O là trung điểm của HE.

Ta cần chứng minh góc EBO = 90 độ.

- Gọi I là trung điểm của AB. Do HB = HC, nên EI = IG (vì I là trung điểm của AB).
- Tam giác HAO và tam giác HBE có các góc tương ứng bằng nhau: góc HAO = góc HBE.
- OA là đường cao của tam giác HAO và BE là đường cao của tam giác HBE.

Từ đó ta kết luận BE vuông góc với AO, do hai tam giác này có ứng dụng đồng dạng.