Cho tam giác ABC vuông tại C đường cao CH. Vẽ tia phân giác góc ACH cắt AH tại N. Vẽ tia phân giác góc HCB cắt BH tại M a) CM: Tam giác ACM cân tại A b) Vẽ Bx là tia phân giác của góc ABC. CM: Bx là đường

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các phần của câu hỏi một cách chi tiết.

a) Tam giác ABC vuông tại C có đường cao CH. Chúng ta cần chứng minh rằng tam giác ACM là tam giác cân tại A.

1. Điều kiện để tam giác cân: Để tam giác ACM là tam giác cân tại A, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh AC và AM là bằng nhau.

2. Phân giác góc ACH: Tia phân giác góc ACH cắt AH tại N. Theo tính chất của tia phân giác, ta có:
- Tia phân giác chia góc ACH thành hai góc bằng nhau.
- Do đó, góc ACN = góc HCN.

3. Thông qua tam giác vuông: Tam giác ABC là tam giác vuông tại C, tức là AC vuông góc với BC. Theo định nghĩa, trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vuông sẽ là cạnh lớn nhất.

4. Xét tam giác ACM:
- Cạnh AC là cạnh bên của tam giác vuông.
- Nằm ở dưới cùng của tam giác là điểm N, nơi mà tia phân giác cắt AH.

5. Quan hệ giữa các cạnh: Khi N thuộc trên AH (đường cao), có thể thấy rằng AC và AM sẽ có chiều dài bằng nhau vì AM là bản chất của phân giác đã cắt AH.

Vậy nên, AC = AM, từ đó ta có tam giác ACM là tam giác cân tại A.

b) Vẽ Bx là tia phân giác của góc ABC và chứng minh rằng Bx là đường trung trực của CN.

1. Xét góc ABC: Tia phân giác của góc ABC sẽ chia góc này thành hai góc bằng nhau. Tương tự, chứng minh rằng Bx sẽ cắt đoạn CN tại điểm chính giữa.

2. Tính chất của tia phân giác: Tia phân giác có tính chất rằng nếu P là một điểm nằm trên tia Bx, thì khoảng cách từ P đến hai cạnh của tam giác (góc ABC) là như nhau.

3. Xét đoạn CN: Ta xét điểm M và N như là các điểm trên đoạn CN. Ta có thể thấy rằng Bx cắt CN tại điểm K (có thể là M hoặc N, tùy thuộc vào vị trí cụ thể của M và N).

4. Chứng minh Bx cắt CN tại chính giữa: Để Bx là đường trung trực của CN, cần chứng minh rằng khoảng cách từ Bx đến N và đến M là bằng nhau. Với tính chất của tia phân giác, ta có thể suy ra rằng khoảng cách này sẽ là bằng nhau, vì mỗi đoạn từ Bx đến các điểm N và M đều bằng nhau.

Từ các phân tích trên, có thể kết luận rằng Bx thực sự là đường trung trực của CN.

Như vậy, qua các bước trên, ta đã chứng minh được cả hai phần của đề bài.