cho tam giác abc cân tại a có đường phân giác ad và đường trung tuyến be cắt nhau tại h   A , chứng minh tam giác ADB B , chứng minh tam giác BHC là tam giác cân  C , trên tia đối của tia EB lấy F sao cho EH =

A) Để chứng minh tam giác ADB là tam giác cân, ta có:

- Ta đã có tam giác ABC là tam giác cân tại A, do đó AB = AC.
- AD là đường phân giác, từ đó, theo định nghĩa đường phân giác, ta có:
\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1\)
- Điều này có nghĩa là BD = DC, từ đó dẫn đến D là trung điểm của BC.
- Vì vậy, ta có AD vừa là đường phân giác vừa là đường trung tuyến trong tam giác ABC.
- Trong tam giác ADB, do D là trung điểm của BC và AD cắt BC tại D, nên ta có AD = AD (đối xứng).
- Vậy, tam giác ADB là tam giác cân với AB = AD và AD = AC.

B) Để chứng minh tam giác BHC là tam giác cân, đầu tiên ta nhận thấy:

- H là giao điểm của đường phân giác AD và đường trung tuyến BE. Như đã chứng minh ở phần A, D là trung điểm của BC.
- Do AD là đường phân giác nên góc BAD = góc CAD (2 góc bằng nhau).
- Từ đó, ta xét tam giác BHC:
- Ta có BH = HC (vì H là giao điểm của đường phân giác và BE // AC).
- Bởi vì H nằm trên đường phân giác, nên góc BHC sẽ bằng góc BAH. Do đó, tam giác BHC có BH = HC và có 2 đỉnh này tạo thành 2 góc bằng nhau.
- Suy ra, tam giác BHC là tam giác cân.

C) Để chứng minh BG đi qua trung điểm I của CF:

- Từ điểm E, ta vẽ đoạn thẳng EH bằng với EF (theo điều kiện của bài toán).
- Như vậy, H là trung điểm của đoạn EF.
- Đoạn thẳng FD cắt CH tại điểm G. Ta cần chứng minh BG cắt HF tại I.
- Ta biết rằng I là trung điểm của CF.
- Từ điểm F trên đường thẳng đối diện của EB, ta có thể sử dụng định lý về đường trung tuyến để chứng minh rằng BG sẽ đi qua trung điểm I.
- Thêm vào đó, vì I là trung điểm của CF, và nếu G là giao điểm của FD với CH, thì đoạn BG cũng sẽ chia đều đoạn CF thành 2 phần bằng nhau. Do đó, nó sẽ qua trung điểm I.

Tóm lại, các phần A, B và C đã chứng minh được các kết quả của bài toán. Hình vẽ thích hợp sẽ làm rõ hơn mối quan hệ giữa các điểm, các đường, và các tam giác trong bài.