Cho đường tròn tâm O bán kính AB, lấy điểm C bất kì trên đường tròn (O) (C khác A, B và AC < AB). Tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại M và N. OM cắt AC tại I, ON cắt BC

a) Để chứng minh tứ giác AOCM nội tiếp, ta phải chứng minh rằng ba điểm A, O, C nằm trên một đường tròn với hai đoạn thẳng AM và CN là các tiếp tuyến của đường tròn tại C. Theo định lý về tiếp tuyến, ta biết rằng góc tạo bởi tiếp tuyến tại một điểm và dây cung đi qua điểm đó là bằng nửa góc ở tâm của dây cung đó.

Vì vậy, ta có: góc AMC = góc AOC và góc CNC = góc AOC. Do đó, tứ giác AOCM là một tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh OM vuông góc với AC, ta có thể sử dụng tính chất của tiếp tuyến: đường OM được vẽ từ O tới điểm C trên đường tròn (O) mà OM là tiếp tuyến sẽ vuông góc với đoạn thẳng OC. Do đó, góc OMC = 90 độ hay OM vuông góc với AC.

b) Để chứng minh OICK là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng OI và CK vuông góc với nhau và đồng thời OI = CK, hay ON và IC vuông góc với nhau và OI = CK. Từ việc OM vuông góc với AC và điểm I nằm trên AC, điều này chứng minh rằng OI vuông góc với AC.

Để chứng minh R^2 = AM BN, chúng ta sử dụng kết quả từ định lý Pythagore và biết rằng AM và BN là các độ dài của hai cạnh bên của tam giác OMC và OCN. Theo định lý của tiếp tuyến và đoạn thẳng, chúng ta cũng có thể chứng minh rằng AMBN = OA^2, từ đó dẫn đến R^2.

c) Để chứng minh góc NDK = góc NOA, trước tiên, ta cần nhận thấy rằng AN cắt đường tròn (O) tại D và EF là một đường kính. Theo tính chất của chu vi đường tròn, D nằm trên đường tròn, và góc tạo bởi dây cung AD tại D này sẽ bằng với góc tại N với điểm O, do đó, góc NDK sẽ bằng góc NOA. Ngoài ra, sử dụng tính chất của đường kính EF và E là trung điểm của AD giúp chúng ta có được các mối quan hệ góc giữa các điểm này trong hình.

Tóm lại, mọi mối quan hệ giữa các điểm và các góc đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.