cho tam giác ABC  vuông tại A có cạnh AB nhỏ hơn AC. Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở D. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho AB = BE a)chứng minh DE vuông góc với BC và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE

a) Để chứng minh DE vuông góc với BC và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE, ta làm như sau:

1. Chứng minh DE vuông góc với BC:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A nên góc ABC = 90 độ.
- Tia phân giác của góc ABC chia góc thành hai góc bằng nhau: góc ABD = góc DBC.
- Theo định nghĩa của tia phân giác và tính chất của góc, ta có rằng DE sẽ vuông góc với BC, vì nếu DE không vuông góc thì góc ABD và góc DBC sẽ không thể bằng nhau.

2. Chứng minh BD là đường trung trực của AE:
- Xét đoạn thẳng AE, với A là điểm ở trên cạnh AB và E là điểm ở trên cạnh BC sao cho AB = BE.
- Do đó, động tác di chuyển từ A đến B và từ B đến E sẽ cho chúng ta độ dài AE = AB + BE = 2AB.
- Bây giờ, xét hai tam giác ABD và EBD. Hai tam giác này có cạnh AB = BE và BD chung, và góc ABD = góc EBD. Vậy suy ra, theo Công thức SSS (cạnh-cạnh-cạnh) và thông qua định lý đường trung trực, BD sẽ cắt AE tại trung điểm của AE.

b) So sánh DA và DC:

- Xét tam giác ADC. D là điểm chia cạnh AC.
- Ta đã biết rằng D là giao điểm của phân giác. Tính chất phân giác cho biết tỉ lệ giữa độ dài hai đoạn thẳng DA và DC sẽ tương ứng với tỉ số giữa các cạnh còn lại. Theo định lý phân giác: DA/DC = AB/BC.
- Do AB < AC (theo đề bài), nên DA < DC.

c) Để chứng minh ba đường thẳng AB, DE, CF đồng quy:

1. Hạ CF vuông góc với tia BD tại F, ta có tam giác CBF vuông tại F.
2. Do DE vuông góc với BC, và BD phân giác chia đều AC, ta có:
- Góc ABD và góc DBE (do DE) sẽ tạo thành những góc đồng dạng với góc CBF.
3. Như vậy, ba đường thẳng AB, DE, và CF sẽ đồng quy tại một điểm, vì chúng cắt nhau tại góc vuông trong tam giác đồng dạng và hợp thành các tỉ lệ nhất định thông qua các điểm D, E và F.

Như vậy, ba đường thẳng này đồng quy tại một điểm là điểm đồng nhất trong không gian của tam giác.