Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = 30 độ. Trên BC lấy điểm H sao cho BH = BA, từ H kẻ HE vuông góc với BC tại H (E thuộc AC) a, chứng minh BE là tia phân giác góc B b, Chứng minh tam giác ABH

a. Để chứng minh BE là tia phân giác góc B, ta sẽ sử dụng định lý Sin.

Trong tam giác ABC vuông tại A với góc C = 30 độ, ta có:
- AB = AC sin(30) = AC 1/2.
- BC = AC sin(60) = AC √3/2.

Bây giờ, ta xét tam giác BHE. Ta có BH = BA (theo giả thiết), và BE là cạnh đối diện với góc B.

Theo định lý Sin trong tam giác BHE, ta có:
- BE/sin(∠BHE) = BH/sin(∠B).
Mặt khác, ∠BHE = 90 - ∠C = 60 độ. Khi đó, ∠B = 30 độ.

Vì BH = BA (theo giả thiết), do đó ta có BE/sin(60) = BA/sin(30), hay BE/√3/2 = (AC 1/2)/(1/2), tức là BE = BA √3 = BE. Từ đó, suy ra BE = BH = BA. Vì BE chia đôi góc B, nên BE là tia phân giác của góc B.

b. Để chứng minh tam giác ABH đều, ta cần chứng minh rằng AB = AH = BH.

Ta đã có BH = BA theo giả thiết. Bây giờ ta cần chứng minh AH = AB.

Trong tam giác ABH, vì E là giao điểm vuông góc nên AE = AH.

- Ta có AC = AB * √3 từ chứng minh trên.
- Từ góc C = 30, ta có AE = AC sin(30) = AC 1/2 = AB √3 1/2.

Vì AB = AH = BH (trong tam giác ABH) cho nên tam giác ABH đều.

c. Để chứng minh B, E, F thẳng hàng, ta sẽ chứng minh rằng tỉ số BE : EF = BE : BF.

Vì F là trung điểm của KC, nên KF = FC và K là giao điểm của BA và HE. Do đó, ta có BF = BA - EF.

Ta cũng lưu ý rằng vì E thuộc AC vuông góc với BC và K là giao điểm của hai đường thẳng, nên B, E, F phải thẳng hàng.

Vì F là trung điểm KC, nên EF = (1/2) * BC từ đó suy ra rằng B, E, F thẳng hàng. Chúng ta có thể tổng hợp lại rằng tỉ số BE : EF = BE : BF do đó ta đã chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng trong hình này.