cho tam giác ABC cân tại A . gọi H là trung điểm của BC  a/ chứng minh AH vuông góc với BC  b/ trên tia đối của tia BC lấy điểm M , trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM =CN .chứng minh tam giác ABM=tam

a/ Để chứng minh AH vuông góc với BC, ta xét tam giác cân ABC tại A. Do đó, ta có AC = AB. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Theo định nghĩa, trung điểm H chia BC thành hai đoạn BH = HC.

Xét hai tam giác ABH và ACH:
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
- BH = HC (do H là trung điểm của BC)
- AH là đường trung trực của đoạn BC (vì H là trung điểm).

Từ đó ta có hai tam giác ABH và ACH có hai cạnh bằng nhau và một cạnh (AH) chung nên chúng bằng nhau. Do đó, góc ABH = góc ACH. Vậy AH vuông góc với BC.

b/ Gọi M là điểm nằm trên tia đối của tia BC và N là điểm nằm trên tia đối của tia CB sao cho BM = CN. Ta cần chứng minh rằng tam giác ABM bằng tam giác ACN.

Chúng ta đã có:
- BM = CN (theo điều kiện đề bài)
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

Sau đó, xét góc ABM và góc ACN. Hai góc này cùng lớn hơn hoặc bằng 90 độ và khi kéo dài ra ngoài M và N, ta thấy chúng tạo thành hai hình tương tự chịu tác động của hai đoạn thẳng bằng nhau. Vậy, từ đó ta suy ra hai tam giác ABM và ACN bằng nhau (có hai cạnh bằng và có góc kề với cạnh bằng nhau). Từ đó kết luận rằng ABM = ACN.

c/ Gọi I là điểm trên AM và K là điểm trên AN sao cho BI vuông góc với AM và CK vuông góc với AN. Để chứng minh tam giác AIK là tam giác cân tại A, ta xét các cạnh:

- Có BI vuông góc với AM nghĩa là góc ABI = 90 độ
- Có CK vuông góc với AN nghĩa là góc ACK = 90 độ

Xét các tam giác BIAM và CKA:
- Ở đây, ta nhận thấy rằng BI = CK (do AD = AB = AC)
- Góc ABI = góc ACK = 90 độ.

Do đó, để thấy được rằng AIK là tam giác cân tại A, tức là AI = AK, vừa được chứng minh qua việc BI và CK là các cạnh vuông góc với hai đoạn thẳng AM và AN.

Cuối cùng, từ việc AIK là tam giác cân tại A, ta có thể suy ra rằng đoạn IK sẽ song song với đoạn MN, vì hai đường thẳng này đều nằm trong hai tam giác ABM và ACN, và hai tam giác ấy lại có cùng độ dài BM và CN.

Vẽ hình sẽ giúp làm rõ quá trình chứng minh này, đồng thời giúp người đọc dễ dàng hình dung và hiểu bài toán hơn.